Это задания по математическому анализу. 1. Упростить |4-2a|. 2. Решить |x+2|=5 и изобразить решения. 3. Для F={2+1/n, n ∈ N}: a) Выписать первые три элемента. б) Найти inf F и sup…

Ниже подробные решения по каждому пункту.

1. Упростить |4 − 2a|

• Фактор: |4 − 2a| = |2(2 − a)| = 2|2 − a| = 2|a − 2|.
• Разложим по случаям (или оставим в виде 2|a−2|):
  • если a ≤ 2: |4 − 2a| = 4 − 2a,
  • если a ≥ 2: |4 − 2a| = 2a − 4.
• Можно также записать компактно: |4 − 2a| = 2|a − 2|.

2. Решить |x + 2| = 5 и изобразить решения

• Раскрываем модуль: x + 2 = 5 или x + 2 = −5.
• Решения: x = 3 или x = −7.
• Изобразить на числовой прямой:
  • отметить точки −7 и 3; между ними отрезок длины 10. Это и есть решения: точки −7 и 3.

3. Для F = {2 + 1/n, n ∈ N}: a) Выписать первые три элемента

• n = 1: 2 + 1 = 3
• n = 2: 2 + 1/2 = 2.5
• n = 3: 2 + 1/3 ≈ 2.333…
• Итог: 3, 2.5, 2 + 1/3.

б) Найти inf F и sup F

• Члены F: 2 + 1/n сходится к 2 при n → ∞, и все элементы больше 2.
• Supremum: максимум достигается при n = 1, поэтому sup F = 3.
• Инфимум: предел при n → ∞ равен 2, поэтому inf F = 2.
• Замечание: 2 не принадлежит F, поэтому min F не существует, а max F существует и равен 3.

в) Существуют ли min F и max F?

• max F существуют: max F = 3 (при n = 1).
• min F не существует: 2 не является элементом F (все элементы > 2).

4. a_n = 2n − 1, b_n = n^2. Найти первые три члена c_n = a_n + b_n

• n = 1: a_1 = 1, b_1 = 1, c_1 = 2
• n = 2: a_2 = 3, b_2 = 4, c_2 = 7
• n = 3: a_3 = 5, b_3 = 9, c_3 = 14
• Общий вид: c_n = (2n − 1) + n^2 = n^2 + 2n − 1.