найти частное решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными dy=y(3x2-1) dx
Решение задачи: dy = y(3x^2 - 1) dx
Это уравнение с разделяющимися переменными. Пошагово:
Разделим переменные dy / y = (3x^2 - 1) dx
Интегрируем обе части ∫ (1/y) dy = ∫ (3x^2 - 1) dx Логарифм-правый: ln|y| = x^3 - x + C
Возведение в экспоненту |y| = e^{x^3 - x + C} = e^C · e^{x^3 - x} Пусть C1 = e^C, тогда y = C1 · e^{x^3 - x} Это общее решение для ненулевых y. Замечание: точное решение в виде y = C e^{x^3 - x} не учитывает случай y ≡ 0, который тоже является решением исходного уравнения (проверка: если y ≡ 0, то dy = 0, а RHS = 0).
Частное решение (с заданным начальными данными) Если дано y(x0) = y0, то из уравнения ln|y| = x^3 - x + C получаем: y0 = C1 · e^{x0^3 - x0} ⇒ C1 = y0 · e^{-(x0^3 - x0)} Следовательно, частное решение: y(x) = y0 · e^{-(x0^3 - x0)} · e^{x^3 - x} = y0 · e^{(x^3 - x) - (x0^3 - x0)}
Итого:
- Общее решение (для y ≠ 0): y = C · e^{x^3 - x}
- Частное решение при заданном начальном условии y(x0) = y0: y(x) = y0 · e^{(x^3 - x) - (x0^3 - x0)}
- Дополнительно: y ≡ 0 также является решение.
