представить число виде бесконечной десятичной периодической дроби 2/7, 87/65

Ниже подробные решения с пошаговыми объяснениями.

1. Число 2/7

• Заметим, что знаменатель 7 не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому десятичная запись будет бесконечно периодической (с периодом, равным длине наименьшего цикла деления по модулю 7).

• Выполним длинное деление 2 на 7 для получения десятичных цифр:

  • 7 в число 2 не умещается, ставим запятую: 0.
  • 20 / 7 = 2, остаток 6 → первая десятичная цифра 2.
  • 60 / 7 = 8, остаток 4 → вторая цифра 8.
  • 40 / 7 = 5, остаток 5 → третья цифра 5.
  • 50 / 7 = 7, остаток 1 → четвёртая цифра 7.
  • 10 / 7 = 1, остаток 3 → пятая цифра 1.
  • 30 / 7 = 4, остаток 2 → шестая цифра 4.
  • Остаток снова 2, цикл повторяется.

• В результате десятичная запись: 0.285714 285714 285714 ... Это бесконечная периодическая дробь с периодом из цифр 285714.

• Запись в виде периодической дроби: 2/7 = 0.\overline{285714}.

2. Число 87/65

• Заметим, что gcd(87,65)=1. Знаменатель 65 имеет вид 5·13, поэтому десятичная запись имеет префикс (непериодическую часть) и затем период. Для дроби вида a/(2^m 5^n p) с gcd(p,10)=1 период равен ord_p(10) (наименьшее k, такое что 10^k ≡ 1 mod p). Здесь p = 13, и ord_13(10) = 6, значит период равен 6, а длина непериодической части равна максимум(м, н), где знаменатель содержит 2^м 5^n. Фактически здесь есть одна цифра после запятой до начала повторения.

• Перепишем 87/65 как 1 + 22/65, чтобы работать с дробью меньше излишне:

  87/65 = 1 + 22/65.

• Теперь найдем десятичное представление 22/65 через деление:

  • 22/65: 220/65 = 3, остаток 25 → первая цифра после запятой = 3.
  • 250/65 = 3, остаток 55 → вторая цифра = 3.
  • 550/65 = 8, остаток 30 → третья цифра = 8.
  • 300/65 = 4, остаток 40 → четвертая цифра = 4.
  • 400/65 = 6, остаток 10 → пятая цифра = 6.
  • 100/65 = 1, остаток 35 → шестая цифра = 1.
  • 350/65 = 5, остаток 25 → седьмая цифра = 5.
  • Остаток 25 повторяется, поэтому цикл повторяется с периода 6 цифр: 384615.
  • Таким образом, последовательность десятичных цифок после запятой для 22/65 имеет вид: 3, 3, 8, 4, 6, 1, 5, 3, 8, 4, 6, 1, 5, ...

• Следовательно, 22/65 = 0.3 384615 384615 384615 ..., то есть после первой цифры 3 идёт повторение блока 384615.

• Вернёмся к исходной дроби: 87/65 = 1 + 22/65, значит 87/65 = 1.338461538461... и повторение блока 384615 начинается после первой цифры после запятой.

• Запись в виде периодической дроби: 87/65 = 1.3\overline{384615} (то есть 1.3 384615 384615 384615 ...).

Итого:

• 2/7 = 0.\overline{285714}
• 87/65 = 1.3\overline{384615} = 1.338461538461...