найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если: 1) q= -1/2, b¹= 1/8

Задача: найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если q = -1/2, первый член b1 = 1/8.

1. Условие существования бесконечной суммы

• Бесконечная сумма геометрической прогрессии существует, если модуль знаменателя q меньше 1: |q| < 1.
• Здесь |q| = 1/2, значит сумма существует и равна S = a1 / (1 - q), где a1 — первый член.

2. Исходные данные

• Первый член a1 = 1/8
• Множитель прогрессии q = -1/2

3. Подстановка в формулу

• 1 - q = 1 - (-1/2) = 1 + 1/2 = 3/2
• S = a1 / (1 - q) = (1/8) / (3/2)

4. Вычисление

• (1/8) / (3/2) = (1/8) * (2/3) = 2/24 = 1/12
• Значение суммы: S = 1/12 ≈ 0.08333

5. Дополнительная проверка (частичные суммы)

• a1 = 1/8
• a2 = a1 * q = (1/8) * (-1/2) = -1/16
• S2 = a1 + a2 = 1/8 - 1/16 = 2/16 - 1/16 = 1/16
• a3 = a2 * q = (-1/16) * (-1/2) = 1/32
• S3 = S2 + a3 = 1/16 + 1/32 = 3/32 ≈ 0.09375
• a4 = a3 * q = (1/32) * (-1/2) = -1/64
• S4 = S3 + a4 = 3/32 - 1/64 = 5/64 ≈ 0.078125
• Частичные суммы чередуются и сходятся к 1/12 ≈ 0.08333, что подтверждает найденный предел.

Ответ: сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 1/12.