Начертите два неколлинеарных вектора и . Постройте: а) вектор противоположно направленный вектору ; б) вектор сонаправленный ; в) вектор равный вектору ; г) вектор коллинеарный…

Пусть даны два неколлинеарных вектора a и b (не лежат на одной прямой).

Задача: построить а) вектор, противоположный направлению вектора a;
б) вектор сонаправленный с каким-то вектором (скорее всего с b);
в) вектор, равный данному вектору;
г) вектор, коллинеарный с одним вектором и сонаправленный с другим (интерпретацию разберём ниже).

Разбор по пунктам (общий для средней школы):

1. а) противоположно направленный вектор к вектору a

• Ответ: это -a.
• Обоснование: вектор, направленный в противоположную сторону, получается путём умножения исходного вектора на −1.

2. б) сонаправленный вектор

• Что значит “соНаправленный”? Это вектор, который лежит на той же луче (имеет ту же направленность), что и данный вектор. Любой положительный скалярный множитель дает сонаправленный вектор.
• Формально: любой вектор x, который можно записать как x = λ b с λ > 0.
• Простейший выбор: сам вектор b (λ = 1) — он, как и любой положительно умноженный на b, сонаправлен с b.
• Ещё альтернативно: единичный вектор в направлении b, например b̂ = b / |b|.

3. в) вектор, равный вектору

• Ответ: тот же вектор a (или тот же вектор, который дан как исходный). Например, равный вектору a — это просто a.
• Обоснование: равный вектор имеет ту же величину и направление.

4. г) вектор, коллинеарный с одним вектором и сонаправленный с другим

• Здесь важно понимать формулировку. Обычно формулируют как: найти вектор, который:
  • коллинеарен одному вектору (например a),
  • и сонаправлен с другим вектором (например b).
• Поскольку дано: a и b неколлинеарны (не лежат на одной прямой), не существует ненулевого вектора, который одновременно коллинеарен a и сонаправлен с b. Коллинеарность с a означает x = α a; сонаправленность с b означает x = β b с β > 0. Поэтому требуется α a = β b. Это возможно только если a и b коллинеарны, что противоречит условию задачи.
• Вывод: среди ненулевых векторов такого не существует. Единственный кандидат — нулевой вектор, но у нулевого направления нет направления, следовательно он не считается сонаправленным с b. Итак: нет ненулевого вектора, удовлетворяющего обоим условиям. (Если допускать нулевой вектор как отдельную «нулевую» ветвь — он коллинеарен с любым вектором, но сонаправленным не является.)

Кратко подытожим:

• а) −a
• б) любой положительный кратный b; как простейший выбор — b itself (или единичный вектор в направлении b)
• в) a
• г) не существует ненулевого вектора, который был бы коллинеарен a и сонаправлен с b (при условии, что a и b неколлинеарны)

Дополнительно: если вам удобнее работать в координатах

• Пусть a = (a1, a2) и b = (b1, b2) в плоскости.
  • Противоположно направленный к a: −a = (−a1, −a2).
  • Со-направленный к b: любое λ(b1, b2) с λ > 0; например, b = (b1, b2) или единичный вектор в направлении b: (b1, b2)/√(b1^2 + b2^2).
  • Равный вектору a: (a1, a2).
  • Вектор, коллинеарный с a и сонаправленный с b: решать систему α(a1, a2) = β(b1, b2) с α > 0, β > 0. При отсутствии пропорциональности между a и b такой вектор не существует (за исключением нуля, который не имеет направления).

Если хочешь, могу привести конкретный числовой пример: подставим конкретные координаты для a и b и выпишем все векторы явно. Также могу нарисовать схему построения на чертеже.