упростить: (4x - 3y)² - (2x - y)(3x - 5y) разложить на множители: 25x³y² - 4xy⁴ ; 45 - 30x - 5x²
Цель: понять решение детально.
- Упростим выражение: (4x - 3y)^2 - (2x - y)(3x - 5y)
Сначала раскроем квадрат: (4x - 3y)^2 = 16x^2 - 24xy + 9y^2.
Затем перемножим два вероятных множителя: (2x - y)(3x - 5y) = 2x·3x + 2x·(-5y) + (-y)·3x + (-y)(-5y) = 6x^2 - 10xy - 3xy + 5y^2 = 6x^2 - 13xy + 5y^2.
Вычтем второй многочлен из первого: (16x^2 - 24xy + 9y^2) - (6x^2 - 13xy + 5y^2) = (16x^2 - 6x^2) + (-24xy + 13xy) + (9y^2 - 5y^2) = 10x^2 - 11xy + 4y^2.
Итого, упрощение даёт: 10x^2 - 11xy + 4y^2.
Дополнительно: можно попытаться разложить получившийся квадратный многочлен на множители. Проверив целочисленные варианты, видим, что над целыми коэффициентами разложение не получается; можно заметить, что по отношению к x/y дискриминант равен 121y^2 - 160y^2 = -39y^2, то над действительными числами разложение на линейные множители невозможно. Значит 10x^2 - 11xy + 4y^2 обычно остаётся как квадратичный неприводимый многочлен.
- Разложим на множители заданные выражения:
a) 25x^3 y^2 - 4xy^4
- Вынесем общий множитель: x y^2.
- Остальное: 25x^2 - 4y^2 = (5x)^2 - (2y)^2 = (5x - 2y)(5x + 2y).
- Полное разложение: 25x^3 y^2 - 4xy^4 = x y^2 (25x^2 - 4y^2) = x y^2 (5x - 2y)(5x + 2y).
b) 45 - 30x - 5x^2
- Вынесем общий множитель -5: 45 - 30x - 5x^2 = -5(x^2 + 6x - 9).
- Внутренний квадрат не раскладывается на рац. множители; можно оставить как -5(x^2 + 6x - 9).
- При желании над действительными числами можно записать через корни: x^2 + 6x - 9 = (x + 3)^2 - 18 = (x + 3 - 3√2)(x + 3 + 3√2). Тогда 45 - 30x - 5x^2 = -5 (x + 3 - 3√2)(x + 3 + 3√2).
Итоговые ответы:
- Упрощённо: 10x^2 - 11xy + 4y^2.
- Разложение на множители: • 25x^3 y^2 - 4xy^4 = x y^2 (5x - 2y)(5x + 2y). • 45 - 30x - 5x^2 = -5(x^2 + 6x - 9) (и при желании над R: = -5 (x + 3 - 3√2)(x + 3 + 3√2)).
