Реши Про натуральное число n, меньшее 40, известно, что самый маленький его собственный делитель на 2 меньше наибольшего собственного делителя. Чему может быть равно n?

Задача может иметь две трактовки, в зависимости от того, считать ли «самый маленький его собственный делитель» равным 1 или самым маленьким простым делителем (первым простым делителем, то есть наименьшим делителем > 1). Рассмотрим оба варианта и приведём решения. Вариант А. Самый маленький делитель > 1 (то есть наименьший простой делитель p) - Пусть p — наименьший(prime) делитель n, и запишем n = p · m, где m ≥ p. Тогда наибольший собственный делитель равен L = m (потому что пара делителей d и n/d образует наибольший и наименьший в такой паре). - Условие: L на 2 больше p, то есть L − p = 2 → m − p = 2 → m = p + 2. - Следовательно n = p(p + 2). Проверяем подходящие простые p, чтобы n < 40: - p = 2 → n = 2·4 = 8. Малейший делитель n > 1 действительно = 2; наибольший делитель = 4; 4 − 2 = 2. Подходит. - p = 3 → n = 3·5 = 15. Лучший делитель = 3; наибольший = 5; 5 − 3 = 2. Подходит. - p = 5 → n = 5·7 = 35. Лучший делитель = 5; наибольший = 7; 7 − 5 = 2. Подходит. - p = 7 → n = 7·9 = 63 > 40, поэтому не рассматриваем. Проблема учла, что p действительно наименьший простой делитель: для p = 7 m = 9 содержит множитель 3, который меньше 7, поэтому для n = 63 действительно наименьшим простым делителем был бы 3, а не 7 — значит такой случай не удовлетворял исходному условию. Но мы уже ограничили n < 40, и полученные n = 8, 15, 35 удовлетворяют условию. - Ответ в этом варианте: n ∈ {8, 15, 35}. Пояснение к проверкам: для каждого n найденные делители действительно дают разность между наибольшим и наименьшим делителями равной 2 (наименьший > 1). Вариант Б. Самый маленький делитель включает 1 (то есть самый маленький собственный делитель = 1) - Тогда smallest proper divisor = 1, наибольший proper divisor L должен быть равен 3 (поскольку L − 1 = 2). - Нужно найти n < 40, для которого наибольший собственный делитель равен 3. Это происходит, когда делители меньше n: {1, 3} и что-либо больше 3 отсутствует. - Такие n — 6 и 9 (для 6 делители: 1, 2, 3; для 9 — 1, 3). Для обоих L = 3 и 1 различие даёт 2. - Ответ в этом варианте: n ∈ {6, 9}. Итого - Если трактовать «самый маленький делитель» как наименьший простой делитель (>1), то решения: n = 8, 15, 35. - Если трактовать как «самый маленький делитель можно принять равным 1» (то есть обычные собственные делители), то решения: n = 6, 9. Чему может быть равно n? В стандартной школьной формулировке чаще имеют в виду первый вариант, поэтому ответ: n ∈ {8, 15, 35}. Если же задача трактуется иначе — {6, 9}.