Как решить пошагово уровнение x⁴-16x²+24x-9=0

Задача: решить пошагово уравнение x^4 − 16x^2 + 24x − 9 = 0. Пошаговое решение (построение разложения на множители): 1) Предположим разложение на множители в виде двух квадратных многочленов: (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = 0. Раскрывая скобки, получаем коэффициенты: x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd. Сравнивая с исходным многочленом x^4 + 0·x^3 −16x^2 + 24x −9, получаем систему: - a + c = 0 → c = −a - ac + b + d = −16 - ad + bc = 24 - bd = −9 2) Подставим c = −a. Тогда ac = −a^2, и система превращается в: - −a^2 + b + d = −16 → b + d = a^2 − 16 - a(d − b) = 24 - bd = −9 3) Так как bd = −9, пары (b, d) на рациональном/целочисленном языке: (1, −9), (−1, 9), (3, −3), (−3, 3). Для каждой пары вычислим a из a(d − b) = 24: - (b, d) = (1, −9): d − b = −10 → a = 24/−10 = −12/5 (не целое, обычно не подходит) - (b, d) = (−1, 9): d − b = 10 → a = 24/10 = 12/5 (не целое) - (b, d) = (3, −3): d − b = −6 → a = 24/−6 = −4 (уменее) - (b, d) = (−3, 3): d − b = 6 → a = 24/6 = 4 (тоже возможно, проверить) Проверим варианты с целыми a. Оба варианта дают целые a: a = −4 или a = 4. Но при a = 4 мы получим c = −a = −4 и тогда b + d должно равняться a^2 − 16 = 16 − 16 = 0, что возможно для (b, d) = (3, −3) или (−3, 3). Но при a = 4 знак коэффициента x в ad + bc даёт 24; последовательность вычислений покажет, что разложение действительно даёт нужные коэффициенты. В практике удобнее выбрать a = −4, c = 4, b = 3, d = −3, что удовлетворяет всем условиям. Таким образом получаем разложение: x^4 − 16x^2 + 24x − 9 = (x^2 − 4x + 3)(x^2 + 4x − 3). (Проверка умножением согласуется с исходным многочленом.) 4) Решаем две квадратные скобки отдельно: - x^2 − 4x + 3 = 0 → дискриминант Δ1 = 16 − 12 = 4 x = (4 ± √4)/2 = (4 ± 2)/2 → x = 1 или x = 3. - x^2 + 4x − 3 = 0 → дискриминант Δ2 = 16 − 4·1·(−3) = 16 + 12 = 28 x = (−4 ± √28)/2 = (−4 ± 2√7)/2 = −2 ± √7. 5) Итого корни уравнения: x ∈ { 1, 3, −2 + √7, −2 − √7 }. Краткое резюме: разложив квадратный quartic на (x^2 − 4x + 3)(x^2 + 4x − 3) и решив каждое квадратное уравнение, получили корни 1, 3, −2 + √7, −2 − √7.