Пример «г»
Задача 211 г): решить уравнение x^4 · x^2 = (1 + 2x^2)(2x^2 − 1) / 4.
Делаем шаги.
Преобразование переменной Пусть t = x^2. Тогда t ≥ 0 и левая часть становится t^3, правая — (1 + 2t)(2t − 1)/4.
Упрощение правой части (1 + 2t)(2t − 1) = 4t^2 − 1. Значит правая часть равна (4t^2 − 1)/4 = t^2 − 1/4.
Итого получаем уравнение t^3 = t^2 − 1/4.
Перепишем как 4t^3 = 4t^2 − 1, или 4t^3 − 4t^2 + 1 = 0.
- Анализ на ненулевых вещественных решениях Обозначим f(t) = 4t^3 − 4t^2 + 1. Рассмотрим t ≥ 0 (так как t = x^2).
- Производная: f′(t) = 12t^2 − 8t = 4t(3t − 2).
- Возможные точки экстремума: t = 0 и t = 2/3.
- Значения: f(0) = 1, f(2/3) = 4(8/27) − 4(4/9) + 1 = 32/27 − 16/9 + 1 = 32/27 − 48/27 + 27/27 = 11/27 > 0.
Так как на этом участке f(t) принимает только положительные значения в точках критических и на концах, и при t → ∞ f(t) → ∞, то f(t) > 0 для всех t ≥ 0.
- Вывод Нет вещественных решений для t ≥ 0, следовательно, нет вещественных решений и для x (так как t = x^2).
Ответ: вещественных решений уравнения нет.
Примечание: уравнение имеет комплексные решения (для них можно найти корни кубического уравнения 4t^3 − 4t^2 + 1 = 0 и затем взять квадратный корень из t), но для задачи на целые/реальные числа они отсутствуют. Если нужно — могу привести решение в комплексной области.
