Решение на задачу 769

Задача 769: Отрезок BB1 — медиана треугольника ABC. Выразите векторы BC, BB1, BA и CA через x = AB1 и y = AB.

Дано:

• AB = y
• AB1 = x
• B1 — середина AC, то есть AB1 = (1/2)AC, следовательно AC = 2x.

Пошаговое решение:

1. Найдём BC.

• BC = C − B = (C − A) + (A − B) = AC + BA.
• Однако BA = −AB = −y, а AC = 2x.
• Значит BC = 2x − y.

2. Найдём BB1.

• BB1 = B1 − B = (B1 − A) + (A − B) = AB1 + BA.
• AB1 = x, BA = −y.
• Значит BB1 = x − y.

3. Найдём BA.

• BA = A − B = −AB = −y.

4. Найдём CA (вектор от C к A) и, при необходимости, AC.

• AC = C − A = 2x, следовательно CA = −AC = −2x.

Итого (ответ векторами через x и y):

• BC = 2x − y
• BB1 = x − y
• BA = −y
• CA = −2x (и AC = 2x, если требуется)

Если задача требовала именно BC, BB1, BA и CA, приведённые выражения охватывают всё. Если же нужен другой вектор из той же тройки (например AC), он равен 2x.