Найти длину диагонали равнобокой трапеции с основаниями 5 см и 11 см и тупым углом 120.

Найдем длину диагонали d равнобокой трапеции с основаниями 11 см и 5 см и тупым углом 120° (предположим, что этот obtусуг на верхнем основании, т. е. угол при вершинах C и D равен 120°).

1. Расположение координат

• Пусть нижнее основание AB длины 11: A = (0, 0), B = (11, 0).
• Верхнее основание CD длины 5 параллельно AB и центрировано относительно AB (из-за равнобокости): его середина на высоте h имеет x-координату 5.5, следовательно вершины верхнего основания: D = (3, h) и C = (8, h) (то есть CD = 5).

2. Длины сторон

• Лаба DA и BC равны: l = |DA| = |BC| = sqrt((3-0)^2 + h^2) = sqrt(9 + h^2).

3. Угол 120° в вершине C

• Вершина C соединена с D верхней стороной CD и с B боковой стороной BC. Векторы из C: CD = D − C = (−5, 0) и CB = B − C = (3, −h).
• Косинус угла между этими векторами: cos∠C = (CD · CB) / (|CD| |CB|) = [(-5, 0) · (3, -h)] / (5 · sqrt(9 + h^2)) = (-15) / (5 sqrt(9 + h^2)) = -3 / sqrt(9 + h^2).
• Так как ∠C = 120°, cos 120° = −1/2. Поэтому: -3 / sqrt(9 + h^2) = -1/2 => sqrt(9 + h^2) = 6 => 9 + h^2 = 36 => h^2 = 27 => h = 3√3.

4. Диагональ

• Диагональ AC имеет координаты разности: AC = C − A = (8, h).
• Длина d = |AC| = sqrt(8^2 + h^2) = sqrt(64 + 27) = sqrt(91).

5. Ответ

• Длина диагонали д = sqrt(91) см ≈ 9.54 см.
• Примечание: в равнобокой трапеции диагонали равны, поэтому BD тоже равно sqrt(91).