исследуйте на замкнутость относительно операции возведения в степень множество А={-1;1}

Задача: исследовать замкнутость множества A = { -1, 1 } относительно операции возведения в степень.

1. Что будем считать операцией

• Пусть бинарная операция ∘ на A задана так: a ∘ b = a^b, где a ∈ A, b ∈ A.
• Замкнутость значит: для любых a, b из A результат a^b принадлежит A.

2. Переберём все случаи

• Варианты a ∈ { -1, 1 }, b ∈ { -1, 1 } дают четыре случая:

  1. a = -1, b = -1: (-1)^(-1) = 1/(-1) = -1 ∈ A
  2. a = -1, b = 1: (-1)^1 = -1 ∈ A
  3. a = 1, b = -1: 1^(-1) = 1/1 = 1 ∈ A
  4. a = 1, b = 1: 1^1 = 1 ∈ A

3. Вывод по замкнутости

• во всех случаях результат лежит в A = { -1, 1 }.
• Следовательно, множество A замкнуто относительно операции возведения в степень.

Дополнительно (для полноты картины)

• Операция на A является ассоциативной на этом множестве: для любых a,b,c ∈ A выполнено (a^b)^c = a^(b^c) (проверку можно свести к случаям, где a ∈ { -1, 1 }, и видно, что оба выражения дают либо -1, либо 1).
• Операция некоммутативна в общем виде: например, (-1)^1 = -1, но 1^(-1) = 1, так что a^b ≠ b^a в некоторых случаях.

Итого: A замкнуто относительно возведения в степень, если основания и степени выбираются из A.