в тетраэдре ABCD точка K - середина медианы BB1 грани BCD. Разложите вектор AK по векторам AB, AC, AD

Кратко: AK выражается через векторы AB, AC, AD так:

AK = (1/2) AB + (1/4) AC + (1/4) AD.

Доказываем:

• Обозначим векторные позиции вершин A,B,C,D как a,b,c,d. Тогда AB = b − a, AC = c − a, AD = d − a.
• В треугольнике BCD точка B1 — середина CD, поэтому B1 = (c + d)/2.
• K — середина отрезка BB1, тогда K = (b + B1)/2 = (2b + c + d)/4.
• Следовательно AK = K − A = ((2b + c + d)/4) − a = (2(b − a) + (c − a) + (d − a))/4 = (2 AB + AC + AD)/4 = (1/2) AB + (1/4) AC + (1/4) AD.

Проверка на пример: при A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1) получаем AK=(0.5,0.25,0.25), что совпадает с формулой.