|х-6|=|х²-5х+9|

Задача: |x - 6| = |x^2 - 5x + 9|

Идея: для любых вещественных A и B выполняется |A| = |B| тогда и только тогда, когда A = B или A = -B. Используем это свойство.

Решение:

1. Пусть A = x - 6, B = x^2 - 5x + 9. Поэтому |x - 6| = |x^2 - 5x + 9| эквивалентно одному из двух случаев:

   • Случай 1: x - 6 = x^2 - 5x + 9 Перепишем уравнение: 0 = x^2 - 5x + 9 - x + 6 = x^2 - 6x + 15 Корней нет, так как дискриминант D = (-6)^2 - 4·1·15 = 36 - 60 = -24 < 0. Значит решений в этом случае нет.

   • Случай 2: x - 6 = -(x^2 - 5x + 9) = -x^2 + 5x - 9 Перепишем: x - 6 + x^2 - 5x + 9 = 0 → x^2 - 4x + 3 = 0 Факторизация: (x - 1)(x - 3) = 0 Следовательно, x = 1 или x = 3.

2. Проверка (желательно): подставим найденные значения.

   • x = 1: |1 - 6| = 5, |1^2 - 5·1 + 9| = |1 - 5 + 9| = |5| = 5 — подходит.
   • x = 3: |3 - 6| = 3, |3^2 - 5·3 + 9| = |9 - 15 + 9| = |3| = 3 — подходит.

Вывод: решения уравнения (для вещественных x) — x = 1 и x = 3.