высота остроугольного равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) пересекаются в точке O. Если высота AD=8 и AO=6, то длина стороны AC равна:
Задача: В острогольном равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) высоты пересекаются в точке O. Если высота AD = 8 и AO = 6, найти длину стороны AC.
Решение.
- Обозначения и наблюдения
- Пусть a = BC, b = CA, c = AB.
- Так как AB = BC, имеем a = c.
- В равнобедренном треугольнике с основания AC углы при A и C равны: ∠A = ∠C.
- Пусть R — окружностьописанная вокруг треугольника (радиус описанной окружности).
- Связи AO и высоты AD через параметры треугольника
AO — расстояние от вершины A до ортоцентра O. В любом треугольнике AH = 2R cos A, где H — ортоцентр (здесь O = H). given AO = 6, значит AH = 6 и 2R cos A = 6 → R cos A = 3. (1)
AD — высота из вершины A на сторону BC. Площадь треугольника можно записать двумя способами: Δ = (1/2) a h_a = (1/2) b c sin A. Так как a = c, получаем h_a = AD = b sin A. В условии AD = 8, значит b sin A = 8. (2)
- Выражение b через R и углы
- b = CA = 2R sin B. Так как ∠A = ∠C и сумма углов треугольника 180°, то B = 180° − 2A, и sin B = sin(2A) = 2 sin A cos A. Следовательно b = 2R sin B = 2R · (2 sin A cos A) = 4R sin A cos A. (3)
- Соединение (2) и (3) с данными (1)
из (2): 8 = b sin A.
подставим (3): 8 = (4R sin A cos A) · sin A = 4R sin^2 A cos A.
учитывая (1): R cos A = 3, значит R = 3 / cos A. Подставим в предыдущее: 8 = 4 (3 / cos A) sin^2 A cos A = 12 sin^2 A. Отсюда sin^2 A = 8/12 = 2/3.
Следовательно sin A = √(2/3), cos A = √(1 − 2/3) = √(1/3) = 1/√3.
- Найдём AC
- Находим R из (1): R = 3 / cos A = 3 / (1/√3) = 3√3.
- sin B = sin(2A) = 2 sin A cos A = 2 · √(2/3) · (1/√3) = 2√2 / 3.
- Тогда AC = b = 2R sin B = 2 · (3√3) · (2√2 / 3) = 4√6.
Ответ: длина стороны AC равна 4√6.
