Дан треугольник ABC из угла A проведена прямая, которая делит BC в точке F как 2:1. Из угла B проведена медиана BM. Точка пересечений прямых BM и AF в точке P. Как относиться AP к PF, и как относиться BP к PM?

Задача: В треугольнике ABC через A проведена прямая AF, пересекающая BC в F так, что BF:FC = 2:1. Через B проведена медиана BM (то есть M — середина AC). Пусть P — пересечение AF и BM. Найти отношения AP к PF и BP к PM. Решение с помощью масс (мас_points) - Назначим массы mA, mB, mC в вершинах так, чтобы точка F на BC удовлетворяла BF:FC = mC : mB. BF:FC = 2:1 значит mC : mB = 2 : 1. Пусть mC = 2, mB = 1. - Так как M — середина AC, AM = MC. Это даёт условие равенства масс на концах отрезка AC: mA = mC. Значит mA = 2. - Получились массы: mA = 2, mB = 1, mC = 2. Точка F на BC имеет суммарную массу mF = mB + mC = 1 + 2 = 3. Точка M на AC имеет суммарную массу mM = mA + mC = 2 + 2 = 4. - Точка P — пересечение AF и BM. В системе масс точка P является центром масс всей тройки (A, B, C). Поэтому на отрезке AF имеет место отношение AP : PF = mF : mA = 3 : 2. И на отрезке BM имеет место отношение BP : PM = mM : mB = 4 : 1. Ответ: - AP : PF = 3 : 2 - BP : PM = 4 : 1 Коротко: P — центр масс системы масс 2 (A), 1 (B), 2 (C); поэтому эти соотношения получаются естественным образом. Если хочешь, могу привести координатное доказательство для проверки.