√5дробь 5+√10

Задача: √5 / (5 + √10)

Пошаговое решение (для понимания):

• Цель: рационализировать знаменатель и привести к простейшему виду.

1. Приведем к дроби с рациональным знаменателем, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое к (5 + √10), то есть на (5 − √10).

• Выражение становится: [√5 (5 − √10)] / [(5 + √10)(5 − √10)].

2. Вычислим знаменатель: (5 + √10)(5 − √10) = 5^2 − (√10)^2 = 25 − 10 = 15.

3. Вычислим числитель: √5 (5 − √10) = 5√5 − √5·√10 = 5√5 − √50. Поскольку √50 = √(25·2) = 5√2, получаем: числитель = 5√5 − 5√2 = 5(√5 − √2).

4. Поделим числитель и знаменатель на 15: [5(√5 − √2)] / 15 = (√5 − √2) / 3.

Ответ: (√5 − √2) / 3.

Проверка приближением:

• Левый член: √5 ≈ 2.23607, √10 ≈ 3.16228, на знаменателе 5 + 3.16228 ≈ 8.16228, так что ≈ 2.23607 / 8.16228 ≈ 0.27395.
• Правый член: (√5 − √2)/3 ≈ (2.23607 − 1.41421)/3 ≈ 0.82186/3 ≈ 0.27395. Совпадает, значит решение верно.