средней линией треугольника называется отрезок соединяющий середины двух его сторон докажите свойства средней линии треугольника средняя линия треугольника параллельна одной из…
Средней линией треугольника называется отрезок соединяющий середины двух его сторон докажите свойства средней линии треугольника средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой сторонв
Задача: доказать, что средняя линия треугольника (отрезок, соединяющий середины двух его сторон) параллельна третьей стороне и равна половине её длины.
Пусть ABC — треугольник. Обозначим середины:
- M — середина AB,
- N — середина AC.
Доказательство (классическое евклидово доказательство, по шагам):
Через точку M проведём прямую, параллельную BC, и пусть она пересекает сторону AC в точке P. То есть MP ∥ BC и P лежит на AC.
Рассмотрим треугольники AMP и ABC. Пояснения к парам соответствующих углов:
- ∠MAP — угол между MA (направлена вдоль AB) и AP (направлена вдоль AC). Этот угол равен ∠BAC.
- ∠MPA — угол между MP (параллельно BC) и PA (направлена вдоль AC). Этот угол равен ∠BCA.
Отсюда треугольники AMP и ABC подобны по признаку AA.
Из подобия получаем отношение сторон: AP/AC = AM/AB = 1/2, поскольку M — середина AB, значит AM = AB/2.
Из AP/AC = 1/2 следует, что AP = AC/2, т. е. точка P является серединой AC. Следовательно P совпадает с N (N — середина AC).
Тогда отсюда MN совпадает с MP и обладает свойствами MP ∥ BC и MP = BC/2. Значит и MN ∥ BC, и MN = BC/2.
Итак, средняя линия MN параллельна стороне BC и равна её половине: MN ∥ BC и MN = BC/2.
Дополнение (если интересно альтернативное доказательство): Можно ввести координаты. Пусть A = (0,0), B = (b1,b2), C = (c1,c2). Тогда M = (b1/2, b2/2), N = (c1/2, c2/2). Вектор MN = N − M = ((c1−b1)/2, (c2−b2)/2) = (1/2)(C − B) = (1/2)BC. Значит MN параллельно BC и |MN| = |BC|/2. Это подтверждает тот же факт другим методом.
