Средней линией треугольника называется отрезок соединяющий середины двух его сторон докажите свойства средней линии треугольника средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой сторонв

Задача: доказать, что средняя линия треугольника (отрезок, соединяющий середины двух его сторон) параллельна третьей стороне и равна половине её длины. Пусть ABC — треугольник. Обозначим середины: - M — середина AB, - N — середина AC. Доказательство (классическое евклидово доказательство, по шагам): 1) Через точку M проведём прямую, параллельную BC, и пусть она пересекает сторону AC в точке P. То есть MP ∥ BC и P лежит на AC. 2) Рассмотрим треугольники AMP и ABC. Пояснения к парам соответствующих углов: - ∠MAP — угол между MA (направлена вдоль AB) и AP (направлена вдоль AC). Этот угол равен ∠BAC. - ∠MPA — угол между MP (параллельно BC) и PA (направлена вдоль AC). Этот угол равен ∠BCA. Отсюда треугольники AMP и ABC подобны по признаку AA. 3) Из подобия получаем отношение сторон: AP/AC = AM/AB = 1/2, поскольку M — середина AB, значит AM = AB/2. 4) Из AP/AC = 1/2 следует, что AP = AC/2, т. е. точка P является серединой AC. Следовательно P совпадает с N (N — середина AC). 5) Тогда отсюда MN совпадает с MP и обладает свойствами MP ∥ BC и MP = BC/2. Значит и MN ∥ BC, и MN = BC/2. Итак, средняя линия MN параллельна стороне BC и равна её половине: MN ∥ BC и MN = BC/2. Дополнение (если интересно альтернативное доказательство): Можно ввести координаты. Пусть A = (0,0), B = (b1,b2), C = (c1,c2). Тогда M = (b1/2, b2/2), N = (c1/2, c2/2). Вектор MN = N − M = ((c1−b1)/2, (c2−b2)/2) = (1/2)(C − B) = (1/2)BC. Значит MN параллельно BC и |MN| = |BC|/2. Это подтверждает тот же факт другим методом.