У=4х²+х⁴+5

Задача: y = x^4 + 4x^2 + 5. Так как цель — понять, ниже подробное разбор и выводы. 1) Прямое представление через квадрат - Перепишем: y = x^4 + 4x^2 + 5 = (x^2 + 2)^2 + 1. - Это видно по разности квадратов: (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4, к которому добавляется 1. 2) Поиск минимума через квадрат - Так как (x^2 + 2) ≥ 2 для любого x (поскольку x^2 ≥ 0), то (x^2 + 2)^2 ≥ 4. - Следовательно y = (x^2 + 2)^2 + 1 ≥ 4 + 1 = 5. - Равенство достигается при x = 0 (тогда x^2 = 0, и x^2 + 2 = 2). Итого: - Минимум функции: y_min = 5. - Значение достигается в точке x = 0. 3) Проверка через производную - Производная: y' = 4x^3 + 8x = 4x(x^2 + 2). - y' = 0 дает единственный корень x = 0 (поскольку x^2 + 2 > 0 всегда). - Вторая производная: y'' = 12x^2 + 8, которая в x = 0 равна 8 > 0, значит это строгий локальный минимум, который является глобальным минимумом (функция стремится к бесконечности при |x|→∞). 4) Другие характеристики - Функция является четной: y(-x) = y(x). - Область определения: все вещественные числа. - Область значений (множество значений функции): y ∈ [5, +∞). - Корней уравнения y = 0 нет (минимум 5, поэтому пересечения с осью абсцисс отсутствуют). Краткое резюме - y = x^4 + 4x^2 + 5 можно записать как (x^2 + 2)^2 + 1. - Минимум равен 5 и достигается в x = 0. - Диапазон значений: [5, ∞). - Реальных корней уравнения y = 0 нет.