у=4х²+х⁴+5

Задача: y = x^4 + 4x^2 + 5. Так как цель — понять, ниже подробное разбор и выводы.

1. Прямое представление через квадрат

• Перепишем: y = x^4 + 4x^2 + 5 = (x^2 + 2)^2 + 1.
• Это видно по разности квадратов: (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4, к которому добавляется 1.

2. Поиск минимума через квадрат

• Так как (x^2 + 2) ≥ 2 для любого x (поскольку x^2 ≥ 0), то (x^2 + 2)^2 ≥ 4.
• Следовательно y = (x^2 + 2)^2 + 1 ≥ 4 + 1 = 5.
• Равенство достигается при x = 0 (тогда x^2 = 0, и x^2 + 2 = 2).

Итого:

• Минимум функции: y_min = 5.
• Значение достигается в точке x = 0.

3. Проверка через производную

• Производная: y' = 4x^3 + 8x = 4x(x^2 + 2).
• y' = 0 дает единственный корень x = 0 (поскольку x^2 + 2 > 0 всегда).
• Вторая производная: y'' = 12x^2 + 8, которая в x = 0 равна 8 > 0, значит это строгий локальный минимум, который является глобальным минимумом (функция стремится к бесконечности при |x|→∞).

4. Другие характеристики

• Функция является четной: y(-x) = y(x).
• Область определения: все вещественные числа.
• Область значений (множество значений функции): y ∈ [5, +∞).
• Корней уравнения y = 0 нет (минимум 5, поэтому пересечения с осью абсцисс отсутствуют).

Краткое резюме

• y = x^4 + 4x^2 + 5 можно записать как (x^2 + 2)^2 + 1.
• Минимум равен 5 и достигается в x = 0.
• Диапазон значений: [5, ∞).
• Реальных корней уравнения y = 0 нет.