Постройте в одной системе координат графики функций y=1/3x² и y=-1/3x² найдите промежутки возрастания и убывания для каждой функции

Цель задачи: понять, как построить в одной системе координат графики двух функций и найти их интервалы возрастания/убывания. Данные: - y1(x) = (1/3) x^2 — парабола с вершиной в начале координат, открывается вверх, коэффициент а = 1/3 (>0). - y2(x) = -(1/3) x^2 — парабола с вершиной в начале координат, открывается вниз, коэффициент а = -1/3 (<0). 1) Как выглядят графики в одной системе координат - Обе параболы имеют вершину в точке (0, 0) и симметричны относительно оси y (ось симметрии x = 0). - y1(±x) = (1/3) x^2. Поскольку коэффициент положительный, график идет вверх и ширина параболы относительно стандартной y = x^2 чуть «шире» (меньше наклон к оси y) из-за деления на 3. - y2(±x) = -(1/3) x^2. Коэффициент отрицательный, график открывается вниз, та же ширина, что и у y1, но отражён вниз. - Точки, через которые проходят графики: обе проходят через вершину (0, 0). Они пересекаются только в этой точке, так как (1/3)x^2 = -(1/3)x^2 дает x^2 = 0 → x = 0, следовательно y = 0. 2) Производные и интервалы возрастания/убывания Чтобы определить, на каких промежутках функция возрастает/убывает, используем производные. - Для y1(x) = (1/3) x^2: - Производная: y1'(x) = (2/3) x. - Знак производной: y1'(x) < 0, если x < 0; y1'(x) > 0, если x > 0. - Следовательно: - Убывание на (-∞, 0) - Возрастание на (0, ∞) - В точке x = 0 производная равна 0; это минимальная точка графика y1, координаты минимума: (0, 0). - Для y2(x) = -(1/3) x^2: - Производная: y2'(x) = -(2/3) x. - Знак производной: y2'(x) > 0, если x < 0; y2'(x) < 0, если x > 0. - Следовательно: - Возрастание на (-∞, 0) - Убывание на (0, ∞) - В точке x = 0 производная равна 0; это максимальная точка графика y2, координаты максимума: (0, 0). 3) Пример точек для наглядности (можно взять в одной системе координат) - Для y1 = (1/3) x^2: - x = -2 → y = (1/3)·4 = 4/3 ≈ 1.33 - x = -1 → y = (1/3)·1 = 1/3 ≈ 0.33 - x = 0 → y = 0 - x = 1 → y = 1/3 - x = 2 → y = 4/3 - Для y2 = -(1/3) x^2: - x = -2 → y = -4/3 ≈ -1.33 - x = -1 → y = -1/3 ≈ -0.33 - x = 0 → y = 0 - x = 1 → y = -1/3 - x = 2 → y = -4/3 4) Как нарисовать оба графика в одной системе координат - По оси x выбрать диапазон, например [-3, 3], по оси y тоже [-3, 3]. - Постройте параболу y1 = (1/3) x^2: вершина в (0,0), открывается вверх, относительно стандартной y = x^2 она «потяжелее» к оси x (потолще незначительно). - Постройте параболу y2 = -(1/3) x^2: вершина в (0,0), открывается вниз, симметрична y1 относительно оси y. - Отметьте, что графики пересекаются только в точке (0,0). - Обозначьте интервалы возрастания и убывания: - y1: убывание на (-∞, 0), возрастание на (0, ∞). - y2: возрастание на (-∞, 0), убывание на (0, ∞). 5) Итог - Графики двух функций в одной системе координат: парабола вверх y = (1/3)x^2 и парабола вниз y = -(1/3)x^2, обе с вершиной в начале координат и симметричны относительно оси y; они пересекаются только в (0,0). - Промежутки возрастания/убывания: - y = (1/3) x^2: убывание (-∞, 0), возрастание (0, ∞) (минимум в x = 0). - y = -(1/3) x^2: возрастание (-∞, 0), убывание (0, ∞) (максимум в x = 0). Если хотите, могу привести компактную схему построения на чертеже или выдать пошаговый план для самостоятельного черчения в тетради.