конспект по теореме фалеса

Ниже конспект по теореме Фалеса, рассчитанный на школьный уровень (средняя школа). Содержит формулировку, геометрическое и координатное доказательства, следствия, примеры и задачи для закрепления.

1. Формулировка теоремы Фалеса

• Основная формулировка: Если A и B — концы диаметра окружности, а C — любая точка окружности, то угол ACB равен 90 градусам. То есть угол ACB — прямой.
• Эквивалентная формулировка: Любой треугольник, вписанный в окружность так, что одна его сторона является диаметром, является прямоугольным по противолежащему углу к этой стороне. И наоборот: если треугольник ABC прямоугольный в C, то AB является диаметром описанной вокруг него окружности.

2. Доказательства а) Геометрическое доказательство (по свойству вписанного угла)

• Вписанный угол измеряет половину дуги, которую он отсекает.
• Диаметр AB описывает дугу AB длиной 180 градусов (половина окружности).
• Следовательно, угол ACB, который отсекает дугу AB, равен 180°/2 = 90°.
• Вывод: ∠ACB = 90°. Это формулировка теоремы Фалеса.

б) Альтернативное доказательство (через окружность с центром в середине AB)

• Пусть M — середина отрезка AB. Точка M является центром окружности с радиусом MA (= MB).
• Если ∠ACB = 90°, то точки A, B и C лежат на одной окружности с центром M (это свойство середины гипотенузы в прямоугольном треугольнике: середина гипотенузы равно Circumcenter).
• Таким образом, AB является диаметром этой окружности, через A, B и C проходят точки окружности.
• В обоих случаях получаем: если AB — диаметр окружности, то ∠ACB = 90°; если ∠ACB = 90°, то A, B, C лежат на окружности с AB в качестве диаметра.

3. Координатная формулировка и эквиваленты

• Пусть A(x1, y1), B(x2, y2). Середина диагонального отрезка AB: M((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Радиус r = √((x2−x1)² + (y2−y1)²) / 2.
• Уравнение окружности с диаметром AB: (x − x_m)² + (y − y_m)² = r², где x_m = (x1+x2)/2, y_m = (y1+y2)/2.
• Эквивалентное условие прямого угла в C: угол ACB равен 90°, если и только если (A − C) · (B − C) = 0. То есть вектор CA перпендикулярен вектору CB.
• Также эквивалентно условие: AC² + BC² = AB² (теорема косинусов при угле 90°).

Примеры проверки на конкретных координатах

• Пример: A(0,0), B(2,0). Медиана M(1,0), радиус r=1. Окружность: (x−1)² + y² = 1.
• Выберите C(1,1) (на окружности). Векторы CA = A − C = (−1, −1), CB = B − C = (1, −1). Их скалярное произведение: (−1)(1) + (−1)(−1) = −1 + 1 = 0, значит ∠ACB = 90°.

4. Следствия и полезные факты

• Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.
• Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.
• Локус точек C, для которых угол ACB равен 90°, есть окружность с диаметром AB (то есть все точки C на окружности с диаметром AB образуют прямоугольные углы при A и B).
• Если треугольник ABC прямоугольный в C, то AB является диаметром окружности, проходящей через A, B и C.

5. Практические примеры решений

• Пример 1. Даны A(−3, 0) и B(3, 0) — диаметр окружности. Найдите уравнение окружности и точку C на окружности с y > 0, если x = 0. Решение: середина AB — M(0,0). Радиус r = AB/2 = 3. Уравнение окружности: x² + y² = 9. Точка C на окружности с x=0 и y>0: C(0, y) с 0² + y² = 9 → y = 3 или y = −3; выбираем y>0 → C(0,3). Угол ACB будет прямым.
• Пример 2. Треугольник ABC прямоугольный в C. Покажите, что AB — диаметр circumcircle. Решение: Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы AB (в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы). Следовательно, AB — диаметр этой окружности.
• Пример 3. Докажите, что точка C лежит на окружности с диаметром AB тогда и только тогда, когда ∠ACB = 90°. Решение: Если C лежит на окружности с диаметром AB, то ∠ACB — вписанный угол, который отсекает дугу AB длиной 180°, следовательно, ∠ACB = 90°. Обратно, если ∠ACB = 90°, то по свойству середины гипотенузы и перпендикулярности CA и CB все точки A, B, C лежат на одной окружности с центром в середине AB, то есть AB — диаметр этой окружности.

6. Короткие памятки для запоминания

• Фалес говорит: если AB — диаметр, то любой C на окружности даёт прямой угол ∠ACB.
• Обратное: если треугольник ABC прямоугольный в C, то AB — диаметр окружности, через A, B, C.
• Локус всех таких точек C — окружность с диаметром AB.
• В координатах удобно использовать центр M как середину AB и проверять перпендикулярность CA и CB или использовать уравнение окружности с диаметром AB.

Если хочешь, могу подобрать еще несколько примеров под конкретный уровень или сделать упражнение под твой класс/задачи (например, с заданными координатами A и B, найти центр, радиус и координаты C или проверить прямой угол по формуле скалярного произведения).