Выбери промежутки, на которых функция f(x)=x+1/x^2 убывает

Решение задачи: на каких промежутках функция f(x) = x + 1/x^2 убывает.

1. Область определения

• f определена при x ≠ 0. Точка x = 0 исключена.

2. Производная

• f'(x) = d/dx(x) + d/dx(1/x^2) = 1 - 2/x^3.

3. Условие убывания

• Функция убывает там, где f'(x) < 0.

Рассматриваем неравенство 1 - 2/x^3 < 0 → -2/x^3 < -1.

• Случай x > 0: тогда x^3 > 0, умножая на x^3 не меняем знак, 2 < x^3 → x < 2^{1/3}. С учётом x > 0 получаем 0 < x < 2^{1/3}.

• Случай x < 0: тогда x^3 < 0, умножение на x^3 меняет знак, и неравенство 2/x^3 > 1 приводит к противоречию (для отрицательного x такого x не существует). Поэтому решений на (-∞, 0) нет.

Итого, функция убывает на промежутке (0, 2^{1/3}). Кубический корень из 2: 2^{1/3} ≈ 1.26.

4. Дополнительная примечание

• В точке x = 2^{1/3} производная обращается в ноль, т.е. это минимум (поскольку f''(x) = 6/x^4 > 0 для x ≠ 0).
• На оставшихся частях области определения функция возрастает: на (-∞, 0) и на (2^{1/3}, ∞).

Ответ: Убывает на промежутке (0, 2^{1/3}) ≈ (0, 1.26).