Задача Задача №3443806
А
А
В треугольнике MNK O - точка пересечения медиан. Вектор MN = вектор x, вектор MK= вектор y, вектор MO=вектор k×(вектор x + вектор y). Найти число k
Задача: В треугольнике M N K O — точка пересечения медиан (центр масс, центроид). Данo:
- MN = x
- MK = y
- MO = k · (x + y) Найти k.
Пошаговое решение:
- Векторная запись центроида
- Пусть координаты вершин M, N, K обозначим как m, n, k (векторные координаты).
- Центроид O треугольника M N K имеет координату o = (m + n + k) / 3.
- Вектор MO равен o − m = (n + k − 2m) / 3.
- Выразим n и k через m и заданные векторы x, y
- По MN = x имеем n − m = x ⇒ n = m + x.
- По MK = y имеем k − m = y ⇒ k = m + y.
- Подставим в MO
- MO = (n + k − 2m) / 3 = ((m + x) + (m + y) − 2m) / 3 = (x + y) / 3.
- Сравним с данным MO = k · (x + y)
- Получаем (x + y) / 3 = k · (x + y).
- При ненулевости вектора x + y следует k = 1/3.
- Примечание: если бы x + y = 0, то MO = 0 и задача теряет смысл для неdegenerate треугольника; в обычной ситуации для треугольника k = 1/3.
Ответ: k = 1/3.
