В треугольнике MNK O - точка пересечения медиан. Вектор MN = вектор x, вектор MK= вектор y, вектор MO=вектор k×(вектор x + вектор y). Найти число k

Задача: В треугольнике M N K O — точка пересечения медиан (центр масс, центроид). Данo: - MN = x - MK = y - MO = k · (x + y) Найти k. Пошаговое решение: 1) Векторная запись центроида - Пусть координаты вершин M, N, K обозначим как m, n, k (векторные координаты). - Центроид O треугольника M N K имеет координату o = (m + n + k) / 3. - Вектор MO равен o − m = (n + k − 2m) / 3. 2) Выразим n и k через m и заданные векторы x, y - По MN = x имеем n − m = x ⇒ n = m + x. - По MK = y имеем k − m = y ⇒ k = m + y. 3) Подставим в MO - MO = (n + k − 2m) / 3 = ((m + x) + (m + y) − 2m) / 3 = (x + y) / 3. 4) Сравним с данным MO = k · (x + y) - Получаем (x + y) / 3 = k · (x + y). - При ненулевости вектора x + y следует k = 1/3. - Примечание: если бы x + y = 0, то MO = 0 и задача теряет смысл для неdegenerate треугольника; в обычной ситуации для треугольника k = 1/3. Ответ: k = 1/3.