y=1/x+4/x-1

Задача: y = 1/x + 4/x - 1

1. Упростим выражение

• y = 1/x + 4/x - 1 = (1+4)/x - 1 = 5/x - 1.

2. Область определения

• x ≠ 0. То есть функция определена на (-∞, 0) и (0, ∞).

3. Пересечения с осями

• x-пересечение (y = 0): 5/x - 1 = 0 → 5/x = 1 → x = 5. Точка: (5, 0).
• y-пересечения нет, потому что при x = 0 функция не определена.

4. Асимптоты

• Вертикальная асимптота: x = 0.
• Горизонтальная асимпотота: y = -1.
• Диапазон значений (значения y): y ≠ -1. То есть график никогда не достигает y = -1.

5. Свойства графика

• Функция y = 5/x - 1 — гипербола, сдвинутая вниз на 1 по оси y.
• Производная: y' = -5/x^2. Она отрицательна при всех x ≠ 0, значит функция строго убывающая на каждом интервале (-∞, 0) и (0, ∞).
• Для x > 0: при x → 0+ y → +∞, при x → +∞ y → -1. Ветвь лежит частично в первом квадранте и частично в четвертом.
• Для x < 0: при x → 0- y → -∞, при x → -∞ y → -1. Ветвь в третьем квадранте.

6. Примеры значений

• При x = 1: y = 5/1 - 1 = 4.
• При x = 5: y = 5/5 - 1 = 0.
• При x = -1: y = 5/(-1) - 1 = -5 - 1 = -6.

7. Обратная связь (опционально)

• Если задано выражение как функция y(x), можно решить для x через y: y = 5/x - 1 → y + 1 = 5/x → x = 5/(y + 1), при этом y ≠ -1.

Итог: упрощение даёт y = 5/x - 1 с областью x ≠ 0; график — гипербола с вертикальной асимптотой x = 0 и горизонтальной асимптотой y = -1, пересечение оси x в точке (5, 0).