x^2-6x+17/x^2-6x+8

Решение задачи: (x^2 - 6x + 17) / (x^2 - 6x + 8)

Цель: понять структуру и получить упрощённое представление.

1. Разложение знаменателя

• x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4).
• Значит выражение имеет нули знаменателя при x = 2 и x = 4. Эти значения исключаем из области определения.

2. Свойства числителя

• Дискриминант числителя: D = (-6)^2 - 4·1·17 = 36 - 68 = -32 < 0.
• Числитель не имеет действительных корней и не делится на (x - 2) или (x - 4). Следовательно общих множителей с знаменателем нет.

3. Приведение к более простому виду

• Выполним деление с остатком: (x^2 - 6x + 17) ÷ (x^2 - 6x + 8) = 1 с остатком 9, потому что (x^2 - 6x + 17) = (x^2 - 6x + 8) + 9.
• Следовательно: (x^2 - 6x + 17) / (x^2 - 6x + 8) = 1 + 9 / (x^2 - 6x + 8).

4. Запишем окончательно

• Упрощённое выражение: (x^2 - 6x + 17) / (x^2 - 6x + 8) = 1 + 9 / [(x - 2)(x - 4)], при x ≠ 2 и x ≠ 4.

5. Дополнительно: домен и поведение функции

• Область определения: x ∈ R, x ≠ 2, 4.
• Горизонтальная асимптота при x → ±∞: предел равен 1.
• Поведение около корней знаменателя: так как 9/(x^2 - 6x + 8) бесконечно растёт/уменьшается ближе к x = 2 или x = 4, функция имеет вертикальные асимптоты в этих точках.
• Пример проверки: подставим x = 0: (0 - 0 + 17) / (0 - 0 + 8) = 17/8 = 2.125; по формуле 1 + 9/8 = 17/8 = 2.125. Всё совпадает.

Итог:

• Упрощённое представление: 1 + 9 / (x^2 - 6x + 8), при x ≠ 2, 4.
• Фактически = 1 + 9 / [(x - 2)(x - 4)].