Три числа, записанные по возрастанию, образуют арифметиче- скую прогрессию. Если первое число уменьшить на 1, второе оста- вить без изменения, а третье увеличить на 19, то новая…

Итак, обозначим исходные числа как a, b, c в возрастающем порядке. Так как они образуют арифметическую прогрессию, запишем:

• b = a + d
• c = a + 2d где d > 0 — общий разность.

Согласно условию, после преобразований тройка (a − 1, b, c + 19) образует геометрическую прогрессию. Для GP выполняется свойство b^2 = (a − 1)(c + 19).

Также дано, что большее из исходных чисел равно 13, значит c = 13. Тогда:

• c = a + 2d = 13
• b = a + d

С учётом c = 13 получаем c + 19 = 32 и a = 13 − 2d, b = 13 − d.

Подставим в условие GP: b^2 = (a − 1)(c + 19) (13 − d)^2 = ( (13 − 2d) − 1 ) · 32 (13 − d)^2 = (12 − 2d) · 32 (13 − d)^2 = 384 − 64d

Раскроем левую часть и перенесём все в одну сторону: d^2 − 26d + 169 = 384 − 64d d^2 + 38d − 215 = 0

Решаем квадратное уравнение: Дискриминант Δ = 38^2 − 4·1·(−215) = 1444 + 860 = 2304, sqrt Δ = 48. d = [−38 ± 48]/2 → d1 = 5, d2 = −43.

Так как d > 0, получаем d = 5.

Тогда:

• a = 13 − 2d = 13 − 10 = 3
• b = a + d = 3 + 5 = 8
• c = 13

Проверка:

• AP: 3, 8, 13 — разность 5, да.
• GP после преобразований: (a − 1, b, c + 19) = (2, 8, 32). Соотношение 8/2 = 4 и 32/8 = 4 — GP верна.

Сумма исходных чисел: a + b + c = 3 + 8 + 13 = 24.

Ответ: 24.