На какой высоте от поверхности Земли ускорение свободного падения будет равно 2,45 м/с²?
Задача: найдем высоту h над поверхностью Земли, при которой ускорение свободного падения равно g = 2,45 м/с².
Пошаговый разбор
1) Физическая модель
- На расстоянии r от центра Земли ускорение свободного падения: g(r) = GM / r^2.
- Вблизи поверхности Земли g0 = g(R) = GM / R^2, где R — радиус Земли ≈ 6 371 км.
- Тогда зависимость от высоты h = r − R можно записать через R и h:
g(h) = g0 · (R / (R + h))^2.
2) Решение уравнения
Нужно, чтобы g(h) = 2,45 м/с². Тогда:
2,45 = 9,81 · (R / (R + h))^2
(R / (R + h))^2 = 2,45 / 9,81
R / (R + h) = sqrt(2,45 / 9,81)
Вычислим численно:
2,45 / 9,81 ≈ 0,24974
sqrt(0,24974) ≈ 0,49974
Следовательно,
R + h = R / 0,49974 ≈ 2,0010 · R
h ≈ (2,0010 − 1) · R ≈ 1,0010 · R
3) Численное значение
R ≈ 6 371 км, значит
h ≈ 1,0010 × 6 371 км ≈ 6 377–6 378 км.
Эквивалентно:
h ≈ 6,38 × 10^6 м ≈ 6 380 км над поверхностью.
4) Контроль и примечания
- На высоте, где r ≈ 2R (то есть h ≈ R), g ≈ g0/4 ≈ 9,81/4 ≈ 2,4525 м/с². Наш ответ 2,45 м/с² близок к этому значению, что согласуется.
- В реальности можно учитывать вращение Земли, неоднородность атмосферы и т. д., но для простой задачи достаточно модели г = GM/r^2.
Ответ: примерно 6 380 км над поверхностью Земли.
