сумма положительных чисел a и b равна 46.при каких значениях a и b их произведение будет наибольшим

Решение задачи: при сумме a + b = 46 найти максимальное произведение ab для положительных a и b.

Пошагово:

• Шаг 1. Выразим одну переменную через другую: пусть b = 46 − a.
• Шаг 2. Запишем произведение как функцию a: P(a) = a · b = a(46 − a) = 46a − a^2.
• Шаг 3. Приведём к квадрату: P(a) = −(a^2 − 46a) = −[(a − 23)^2 − 23^2] = 529 − (a − 23)^2.
• Шаг 4. Поскольку (a − 23)^2 ≥ 0, получаем P(a) ≤ 529, и максимум достигается при a = 23.
• Шаг 5. Значит b = 46 − a = 23. Так как a и b должны быть положительными, этот вариант допустим.

Ответ:

• Наибольшее произведение достигается при a = 23 и b = 23.
• Максимальное произведение: ab = 23 · 23 = 529.

Дополнительное замечание: по неравенству AM-GM для неотрицательных a и b с фиксированной суммой S максимум произведения достигается при a = b = S/2. Здесь S = 46, так что a = b = 23, что совпадает с полученным результатом.