(x²-2x)(x-5)(x²-11x+30)+12(x-6)(x²-11x+30)+96(x-6)(x-5)=(x+1)(x²-2x)(x-5)(x-6)

Цель: понять и решить данное уравнение. Задача: (x²−2x)(x−5)(x²−11x+30) + 12(x−6)(x²−11x+30) + 96(x−6)(x−5) = (x+1)(x²−2x)(x−5)(x−6) 1) Заметим, что x²−11x+30 = (x−5)(x−6). Это позволяет заметно упростить выражения. 2) Перепишем каждую часть: - LHS первый член: (x²−2x)(x−5)(x²−11x+30) = (x²−2x)(x−5)(x−5)(x−6) = (x−5)(x−6)(x²−2x)(x−5) - LHS второй член: 12(x−6)(x²−11x+30) = 12(x−6)(x−5)(x−6) = (x−5)(x−6)·12(x−6) - LHS третий член: 96(x−6)(x−5) = (x−5)(x−6)·96 Поэтому левую часть можно представить как LHS = (x−5)(x−6) [ (x²−2x)(x−5) + 12(x−6) + 96 ]. RHS = (x+1)(x²−2x)(x−5)(x−6) = (x−5)(x−6) (x+1)(x²−2x). 3) Перенесём RHS в левую часть и вынесем общий множитель (x−5)(x−6): LHS − RHS = (x−5)(x−6) { (x²−2x)(x−5) + 12(x−6) + 96 − (x+1)(x²−2x) } = 0. 4) Внутри фигурной скобки упрощаем: (a) (x²−2x)(x−5) − (x+1)(x²−2x) = (x²−2x)[ (x−5) − (x+1) ] = (x²−2x)(−6) = −6x² + 12x. (b) 12(x−6) + 96 = 12x − 72 + 96 = 12x + 24. Итого внутри скобки: (−6x² + 12x) + (12x + 24) = −6x² + 24x + 24 = −6(x² − 4x − 4). 5) Следовательно, всё уравнение переписывается как −6 (x−5)(x−6) (x² − 4x − 4) = 0. 6) Решаем произведение, равно нулю, давая варианты: - x − 5 = 0 ⇒ x = 5 - x − 6 = 0 ⇒ x = 6 - x² − 4x − 4 = 0 ⇒ x = [4 ± √(16 + 16)]/2 = 2 ± 2√2 7) Все найденные значения действительно являются решениями (они не приводят к делению на нуль или недопустимым операциям в исходной формуле). Ответ: x ∈ {5, 6, 2 − 2√2, 2 + 2√2}.