(x²-2x)(x-5)(x²-11x+30)+12(x-6)(x²-11x+30)+96(x-6)(x-5)=(x+1)(x²-2x)(x-5)(x-6)
Цель: понять и решить данное уравнение.
Задача: (x²−2x)(x−5)(x²−11x+30) + 12(x−6)(x²−11x+30) + 96(x−6)(x−5) = (x+1)(x²−2x)(x−5)(x−6)
Заметим, что x²−11x+30 = (x−5)(x−6). Это позволяет заметно упростить выражения.
Перепишем каждую часть:
- LHS первый член: (x²−2x)(x−5)(x²−11x+30) = (x²−2x)(x−5)(x−5)(x−6) = (x−5)(x−6)(x²−2x)(x−5)
- LHS второй член: 12(x−6)(x²−11x+30) = 12(x−6)(x−5)(x−6) = (x−5)(x−6)·12(x−6)
- LHS третий член: 96(x−6)(x−5) = (x−5)(x−6)·96
Поэтому левую часть можно представить как LHS = (x−5)(x−6) [ (x²−2x)(x−5) + 12(x−6) + 96 ].
RHS = (x+1)(x²−2x)(x−5)(x−6) = (x−5)(x−6) (x+1)(x²−2x).
Перенесём RHS в левую часть и вынесем общий множитель (x−5)(x−6): LHS − RHS = (x−5)(x−6) { (x²−2x)(x−5) + 12(x−6) + 96 − (x+1)(x²−2x) } = 0.
Внутри фигурной скобки упрощаем: (a) (x²−2x)(x−5) − (x+1)(x²−2x) = (x²−2x)[ (x−5) − (x+1) ] = (x²−2x)(−6) = −6x² + 12x. (b) 12(x−6) + 96 = 12x − 72 + 96 = 12x + 24.
Итого внутри скобки: (−6x² + 12x) + (12x + 24) = −6x² + 24x + 24 = −6(x² − 4x − 4).
Следовательно, всё уравнение переписывается как −6 (x−5)(x−6) (x² − 4x − 4) = 0.
Решаем произведение, равно нулю, давая варианты:
- x − 5 = 0 ⇒ x = 5
- x − 6 = 0 ⇒ x = 6
- x² − 4x − 4 = 0 ⇒ x = [4 ± √(16 + 16)]/2 = 2 ± 2√2
- Все найденные значения действительно являются решениями (они не приводят к делению на нуль или недопустимым операциям в исходной формуле).
Ответ: x ∈ {5, 6, 2 − 2√2, 2 + 2√2}.
