реши задачу по геометрии. Диагональ равнобокой трапеции образует с основанием угол 32 градуса, а её боковая сторона равна меньшему основанию, найти углы

Задача по геометрии: равнобочная трапеция, диагональ образует с основанием угол 32°, боковая сторона равна меньшему основанию. Найти углы трапеции.

Обозначим:

• меньшая база AB = a, большая база CD = b (a ≤ b).
• высота трапеции h.
• боковые стороны AD и BC равны: AD = BC = l.
• Пусть диагональ AC образует с базой AB угол θ = 32°. Тогда θ = arctan(h / ((a + b)/2)).

Из условия l = a получаем relation для длин сторон:

• расстояние AD: l^2 = h^2 + ((b − a)/2)^2.
• так как l = a, имеем a^2 = h^2 + ((b − a)/2)^2. (1)

Используем выражение для высоты из угла θ:

• tan θ = h / ((a + b)/2) ⇒ h = ((a + b)/2) · tan θ. (2)

Подставим (2) в (1): a^2 = [((a + b)/2)^2 · tan^2 θ] + ((b − a)/2)^2. Умножим на 4: 4a^2 = (a + b)^2 tan^2 θ + (b − a)^2. (3)

Обозначим t = tan θ и введём отношение r = b/a (r > 1). Делить все выражения на a^2 и выражать через r: 4 = (1 + t^2)(1 + r^2) + 2(t^2 − 1) r. (4)

Из уравнения (4) можно получить явное значение r: r = (3 − t^2) / (1 + t^2). (5)

Теперь найдём угол φ при основании AB (верхняя база). Это угол между основанием AB и боковой стороной AD. Его тангенс равен: tan φ = h / ((b − a)/2) = [(a + b)/2 · t] / ((b − a)/2) = t · (a + b)/(b − a) = t · (1 + r)/(r − 1). (6)

Подставим в (6) значение r из (5). После упрощения получаем: tan φ = 2t / (1 − t^2) = tan(2θ).

Так как θ = 32°, то φ = 2θ = 64°.

Следовательно:

• углы при меньшем основании AB равны φ = 64°,
• углы при большем основании CD равны 180° − 64° = 116°.

Ответ:

• углы трапеции: верхние (при меньшем основании) по 64°, нижние (при большем основании) по 116°.