построй график функции y=0,4x² и y=-0,4x²

Задача: построить графики y = 0,4x^2 и y = -0,4x^2.

Уровень объяснения: для 9 класса, цель — Понять.

Пошаговое решение и объяснение

1. Что за графики и где вершина

• Оба графика имеют вид параболы y = a x^2 с вершиной в начале координат (0,0).
• В первом случае a = 0,4 > 0: парабола открывается вверх.
• Во втором случае a = -0,4 < 0: парабола открывается вниз.
• Обе параболы симметричны относительно оси y (ось симметрии x = 0).

2. Как понять «ширина» параболы

• Коэффициент |a| = 0,4. Меньшее |a| по сравнению с a = 1 означает «более широкую» параболу (она растянута оосью y). Таким образом, y = 0,4x^2 будет шире, чем стандартная y = x^2.
• Изменение знака a меняет направление открытия: вверх при a > 0, вниз при a < 0.

3. Простейшие точки для построения Чтобы наглядно нарисовать график, достаточно проставить пару-тройку точек и их симметричные пары по оси y.

Для y = 0,4x^2:

• x = 0 → y = 0
• x = ±1 → y = 0,4
• x = ±2 → y = 1,6
• x = ±3 → y = 3,6 Точки: (-3, 3,6), (-2, 1,6), (-1, 0,4), (0,0), (1,0,4), (2,1,6), (3,3,6)

Для y = -0,4x^2 (то же по модулю, но минус):

• x = 0 → y = 0
• x = ±1 → y = -0,4
• x = ±2 → y = -1,6
• x = ±3 → y = -3,6 Точки: (-3,-3,6), (-2,-1,6), (-1,-0,4), (0,0), (1,-0,4), (2,-1,6), (3,-3,6)

4. Как построить на бумаге или в графике

• Начертите систему координат.
• Отметьте вершину (0,0) и ось симметрии x = 0.
• По перечисленным точкам для каждого графика поставьте точки.
• Соедините точки плавной кривой: получатся две параболы, одна вверх, другая вниз.
• Обратите внимание на пересечения осей: обе параболы пересекают ось Y в (0,0) и не пересекают ось X нигде, кроме origin (поскольку y = a x^2 равно нулю только при x = 0).

5. Что ещё можно заметить

• Обе графики имеют домен степени все вещественные числа; диапазоны отличаются:
  • y = 0,4x^2 имеет y ≥ 0.
  • y = -0,4x^2 имеет y ≤ 0.
• Точки пересечения между двумя графиками: только в начале координат (0,0), так как 0,4x^2 = -0,4x^2 даёт 0.8x^2 = 0 → x = 0.
• Плавный переход от одной кривой к другой через общую точку указывает на симметрию относительно оси x и на то, что одна — отражение другой через ось Ox.

6. Быстрая справка по сравнению с обычной параболой

• Стандартная y = x^2 имеет a = 1. Здесь a = ±0,4, значит параболы «мягче» по высоте: на любом фиксированном x значения y будут в 0,4 раза меньше по модулю, чем в y = x^2, и направление зависит от знака a.

Итог

• График y = 0,4x^2 открывается вверх, вершина в (0,0), шире стандартной параболы y = x^2.
• График y = -0,4x^2 открывается вниз, вершина в (0,0), аналогично шире стандартной.
• Оба графика совпадают в вершине и оси симметрии, и образуют пару парабол, которые являются отражением друг друга через ось Ox.