докажите что числа 864 и 875 взаимно простые

Задача: доказать, что 864 и 875 взаимно простые (то есть их НОД равен 1).

Способ 1: Евклидов алгоритм (пошагово)

• Найдем НОД(875, 864).
• 875 = 864 + 11, поэтому НОД(875, 864) = НОД(864, 11).
• 864 = 11·78 + 6, значит НОД(864, 11) = НОД(11, 6).
• 11 = 6·1 + 5, значит НОД(11, 6) = НОД(6, 5).
• 6 = 5·1 + 1, значит НОД(6, 5) = НОД(5, 1).
• 5 = 1·5 + 0, поэтому НОД(5, 1) = 1.

Итак, НОД(864, 875) = 1. Значит числа 864 и 875 взаимно простые.

Способ 2: лаконичнее через разность и проверку на делимость на 11

• Любой общий делитель d чисел 864 и 875 должен делить их разность: 875 − 864 = 11. Значит d делит 11.
• Возможные общие делители: 1 и 11.
• Проверим делимость 864 на 11: 11·78 = 858, остаток 6. Значит 11 не делит 864.
• Следовательно общий делитель больше 1 не существует, НОД равен 1.

Дополнительно для понимания можно разложить числа на простые множители:

• 864 = 2^5 · 3^3
• 875 = 5^3 · 7 У них нет общих простых факторов, значит НОД = 1.

Ответ: 864 и 875 взаимно простые.