докажите,что для любых двух неколлинеарных векторов x и y справедливо неравенство |x+y|<|x|+|y|

Задача: доказать, что для любых двух неколлинеарных векторов x и y в Euclidean пространстве верно |x + y| < |x| + |y|.

Пояснение и решение (для геометрии 9 класса):

• Пусть x и y неколлинеарны, значит угол между ними θ удовлетворяет 0 < θ < π.
• Обозначим a = |x|, b = |y|. По теореме косинусов для треугольника с сторонами |x|, |y| и векторным суммированием x + y имеем: |x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2 + 2|x||y| cos θ = a^2 + b^2 + 2ab cos θ.
• Так как θ ∈ (0, π), то cos θ < 1. Следовательно: |x + y|^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos θ < a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2.
• Обе стороны неотрицательны, поэтому можно взять корень и получить: |x + y| < a + b = |x| + |y|.

Вывод: если векторы не коллинеарны (не лежат на одной прямой и не противопоставлены друг другу), то выполняется строгое неравенство |x + y| < |x| + |y|.

Дополнение по равенству:

• Равенство в неравенстве достигается только тогда, когда θ = 0, то есть векторы коллинеарны в том же направлении (или один из них нулевой). В этом случае |x + y| = |x| + |y|. Но условие задачи требует неколлинеарности, поэтому равенство здесь не происходит.