выражение z=x²+y² где x и y будут любые числа кроме 0

Задача: z = x^2 + y^2, при этом x и y любые числа, кроме 0 (то есть x ≠ 0 и y ≠ 0). Цель — понять свойства этого выражения.

Пошаговое решение и объяснения

1. Что означает выражение

• z равно сумме квадратов x и y: z = x^2 + y^2.
• Числа x и y могут быть любыми не нулями, включая положительные и отрицательные значения.

2. Domain (область значений x и y)

• По условию x ∈ R, x ≠ 0; y ∈ R, y ≠ 0.
• Соответственно x^2 > 0 и y^2 > 0 для любых допустимых x и y.

3. Значение z и диапазон возможных значений

• Так как x^2 > 0 и y^2 > 0, то z = x^2 + y^2 > 0 для любых допустимых x и y.
• Следовательно, z не может быть ≤ 0 при заданном ограничении.
• Далее: могу ли мы получить любое заданное положительное число t > 0?
  • Да: возьмём x = y = sqrt(t/2). Тогда z = (t/2) + (t/2) = t, и оба х и у не равны нулю.
• Значит, диапазон значений z при x ≠ 0 и y ≠ 0 равен всем зодам > 0: z ∈ (0, ∞).
• Примечание: если разрешить x = 0 или y = 0, тогда z могло бы быть равно 0 (тогда диапазон был бы [0, ∞)). Но по условию zeros нет, поэтому минимального значения z нет, а infimum равна 0.

4. Минимум и максимум

• Нет максимума: при увеличении любой из координат z становится бесконечно большим.
• Нет минимума в строгом смысле на данной области, потому что z всегда положительно и может быть arbitrarily близко к 0, но не достигать 0 (нужно x = 0 и y = 0).
• Таким образом: зная, что x ≠ 0 и y ≠ 0, можно сказать: inf z = 0, но минимального значения на этой области нет; диапазон z — (0, ∞).

5. Примеры численно

• x = 1, y = 1 → z = 1^2 + 1^2 = 2
• x = 2, y = 3 → z = 4 + 9 = 13
• x = -1, y = 2 → z = 1 + 4 = 5
• Если взять очень маленькие x и y (но не нули), например x = 0.01, y = 0.02 → z ≈ 0.0001 + 0.0004 = 0.0005, то z очень маленькое, но все равно положительное.

6. Графическое представление (но очень кратко)

• Функция z = x^2 + y^2 изображается как параболоид: поверхность, открытая вверх.
• Уровневые кривые на плоскости (для фиксированного z) соответствуют окружностям: x^2 + y^2 = z.
• При ограничении x ≠ 0 и y ≠ 0 отсекаются оси, но форма поверхности и окружности уровней сохраняются в остальных местах.

Итог

• При заданном условии x ≠ 0 и y ≠ 0, z = x^2 + y^2 всегда положительно.
• Диапазон z — все положительные числа: z ∈ (0, ∞).
• Нет минимума на этой области (минимальное значение не достигается), а максимум не существует (можно сделать z как большим, так и малым, приближающимся к 0, но не достигающим его).

Если хотите, могу предложить формулировку задач на максимум/минимум или построение графика поверхности шаг за шагом.