Найдите все значения a при каждом из которых уравнение (|4x-15|+2a-15)/(x^2-10x+a^2)= 0 имеет ровно два различных корня

Задача сводится к тому, чтобы уравнение (|4x - 15| + 2a - 15) / (x^2 - 10x + a^2) = 0 имело ровно два различных корня по x. Это возможно только когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. 1) Решение условию нуля дроби Число в числителе должно быть равно нулю: |4x - 15| + 2a - 15 = 0 => |4x - 15| = 15 - 2a. С учетом того, что модуль неотрицателен, необходимое условие: 15 - 2a ≥ 0 → a ≤ 15/2. Из |4x - 15| = 15 - 2a получаем два решения (для 15 - 2a > 0): 4x - 15 = ±(15 - 2a). Отсюда: x = (15 ± (15 - 2a)) / 4 → x1 = (15 - a)/2, x2 = a/2. Так что при a < 15/2 чисел x1 и x2 — все кандидаты в корни. Они различны (пока a ≠ 15/2). 2) Условие на знаменатель Знаменатель не должен равняться нулю: x^2 - 10x + a^2 ≠ 0. Знаменатель имеет корни (когда |a| ≤ 5): x = 5 ± sqrt(25 - a^2). Если |a| > 5, знаменатель нигде не обращается в ноль, и оба кандидата x1, x2 допустимы. Итого: - Для a < 15/2 даются две теоретически различных точки x1 = (15 - a)/2 и x2 = a/2. Чтобы было ровно две корня, обе эти точки должны быть не нулями знаменателя. 3) Проверка на невозможность наложения с нулями знаменателя Найдем, при каких a одно из candidate-значений совпадает с нулями знаменателя. Знаки знаменателя в точках x1 и x2: - D(x2) = x2^2 - 10x2 + a^2 при x2 = a/2. D(a/2) = (a/2)^2 - 10(a/2) + a^2 = a^2/4 - 5a + a^2 = (5/4)(a^2 - 4a). D(a/2) = 0 тогда, когда a^2 - 4a = 0 → a(a - 4) = 0 → a = 0 или a = 4. - D(x1) при x1 = (15 - a)/2: D((15 - a)/2) = 0 дает a = -3 или a = 5. (Можно посчитать напрямую как D((15 - a)/2) = (5/4)(a^2 - 2a - 15) = (5/4)(a - 5)(a + 3).) Итого: - Если a = 0 или a = 4, то один из двух кандидатов (x2) даёт знаменатель = 0 → остаётся только один допустимый корень. - Если a = -3 или a = 5, то другой кандидат (x1) даёт знаменатель = 0 → остаётся только один допустимый корень. - Для остальных a в диапазоне |a| ≤ 5 оба кандидата не дают знаменатель нулю, значит оба корня остаются. 4) Итог по диапазонам a с учётом условия a ≤ 15/2 - Если |a| > 5, знаменатель нигде не обращается в ноль, оба корня x1 и x2 существуют: это происходит при a < -5 или 5 < a < 15/2. В обоих случаях имеем ровно две точки. - Если |a| ≤ 5, знаменатель может дать нули. Как выше: • a ∈ {-3, 0, 4, 5} — у нас остаётся только один допустимый корень. • Все остальные a в [-5, 5] дают два корня. - При a = 15/2 = 7.5 числитель равен нулю только в одном x (x = 15/4), т.е. один корень — не подходит. - При a > 15/2 корней нет. 5) Ответ Всего два различных корня будет тогда, когда a < 15/2 и a не лежит в множестве { -3, 0, 4, 5 }. Иными словами, все реальные a меньше 15/2, за исключением значений -3, 0, 4 и 5. Записываем как объединение отрезков: a ∈ (-∞, -3) ∪ (-3, 0) ∪ (0, 4) ∪ (4, 5) ∪ (5, 15/2). Либо компактнее: a < 15/2 и a ∉ { -3, 0, 4, 5 }.