Построение параболы с уровнем у=3(x-1)^2-5

Задача: построение параболы по уравнению y = 3(x − 1)^2 − 5. Пояснение и подробное решение 1) Узнаём форму параболы - Это парабола в вершиной форме: y = a(x − h)^2 + k. - Здесь h = 1, k = −5, a = 3. - Следовательно, вершина параболы: V = (h, k) = (1, −5). - Направление: так как a > 0, парабола открывается вверх. - Ось симметрии: x = h = 1. 2) Перепишем в форму (x − h)^2 = 4p(y − k) и найдём фокус/прямую - Перепишем: y + 5 = 3(x − 1)^2 → (x − 1)^2 = (1/3)(y + 5). - Это соответствует (x − h)^2 = 4p(y − k) с h = 1, k = −5 и 4p = 1/3. - Значение p: p = 1/12. - Фокус: F = (h, k + p) = (1, −5 + 1/12) = (1, −59/12) ≈ (1, −4.9167). - Прямая: y = k − p = −5 − 1/12 = −61/12 ≈ −5.0833. 3) Пересечения с осями - y-пересечение (x = 0): y = 3(0 − 1)^2 − 5 = 3·1 − 5 = −2. Точка пересечения с осью y: (0, −2). - x-пересечения (y = 0): 0 = 3(x − 1)^2 − 5 → (x − 1)^2 = 5/3. x = 1 ± √(5/3) = 1 ± √15/3. Приближённо: x ≈ −0.291 и x ≈ 2.291. Точки: (1 − √15/3, 0) и (1 + √15/3, 0). 4) Дополнительные точки (для построения графика) - По симметрии вокруг оси x = 1 можно брать пары: - x = 0 → y = −2 (у already учтено) - x = 2 → y = −2 - x = −1 → y = 7 - x = 3 → y = 7 Получаем набор точек: (−1, 7), (0, −2), (1, −5), (2, −2), (3, 7). 5) Что построить на чертеже - Постройте координатные оси. - Отметьте вершину V(1, −5). - Проведите ось симметрии x = 1. - Постройте прямую фокус-дирекция: фокус F(1, −59/12) и прямую D: y = −61/12 (для теоретической проверки). - Отметьте пересечения с осями: (0, −2) и x-intercepts ~ (−0.291, 0) и (2.291, 0). - Прокалите ещё пару точек, например (−1, 7) и (3, 7), и плавной линией соедините их параболой. 6) Свойства графика - Область определения: вся Perform(-∞, ∞). - Область значений: [−5, ∞). - Парабола симметрична относительно оси x = 1. - Фокус находится выше вершины на p = 1/12 единицы, прямая — ниже вершины на 1/12 единицы. 7) Краткий итог - Вершина: (1, −5) - Ось симметрии: x = 1 - Фокус: (1, −59/12) - Прямая: y = −61/12 - Уравнение в виде вершинной формы уже дано: y = 3(x − 1)^2 − 5 - Прямая (x − 1)^2 = (1/3)(y + 5) даёт связь с фокусом и директрисой - Пересечения с осями и примерные координаты точек на графике приведены выше Если нужно, могу нарисовать приблизительный чертёж или помочь построить таблицу точек на бумаге.