Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата. а) Докажите, что МА и ВС - скрещивающиеся прямые. б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если LMAD…

Решение задачи (пояснения понятны для средней школы; предполагаем, что LT в части б — это опечатка и дано ∠MAD = 45°).

1. А) Докажите, что МА и ВС — скрещивающиеся прямые.

• Обозначим плоскость квадрата ABCD как плоскость Π. Точка M лежит вне этой плоскости, а прямая MA проходит через вершину A.
• Поскольку A ∈ Π и A ∈ MA, прямая MA пересекает Π в точке A. Так как M не лежит в Π, пересечение MA и Π состоит только из одной точки: {A}.
• Прямая BC целиком лежит в Π.
• Предположим, что MA и BC пересекаются. Тогда найдется точка P ∈ MA ∩ BC. Так как P ∈ Π и P ∈ MA, то P ∈ MA ∩ Π. Но MA ∩ Π = {A}, следовательно P = A. Однако A не принадлежит BC (BC — сторона квадрата, не проходящая через A). Противоречие. Значит MA и BC не пересекаются.
• Теперь докажем, что они не параллельны. Если бы MA была параллельна BC, то существовала бы плоскость, содержащая обе прямые (любые две параллельные прямые лежат в одной плоскости). Эта плоскость содержала бы BC (которая лежит в Π) и MA, значит она содержала бы A и M и BC и указывала бы на то, что MA лежит в Π (поскольку плоскость, содержащая BC и A, уже есть — это Π). Но M не лежит в Π, следовательно MA не может лежать в той же плоскости, а значит MA не параллельна BC.
• Следовательно, MA и BC не пересекаются и не параллельны — они скрещивающиеся прямые.

Итого: линии MA и BC скрещиваются (не пересекаются и не лежат в одной плоскости).

2. Б) Найдите угол между прямыми MA и ВС, если ∠MAD = 45°.

• Заметим, что AD ∥ BC в квадрате ABCD (AD и BC — обе направлены вдоль одной и той же стороны квадрата).
• Следовательно, угол между MA и BC равен углу между MA и AD: угол(MA, BC) = угол(MA, AD) = ∠MAD.
• По условию дано ∠MAD = 45°. Значит и угол между MA и BC равен 45°.

Ответ:

• а) MA и BC скрещивающиеся прямые.
• б) угол между MA и BC равен 45°.