реши пример: интеграл dx/2x²-32

Задача: вычислить неопределённый интеграл ∫ dx / (2x^2 - 32).

Пояснение пошагово (для понятности)

1. Упростим выражение под знаком интеграла ∫ dx/(2x^2 - 32) = ∫ dx/[2(x^2 - 16)] = (1/2) ∫ dx/(x^2 - 16).

2. Разложим квадрат под корнем на множители x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4).

3. Частичные дроби: разложим 1/(x^2 - 16) = A/(x - 4) + B/(x + 4). Решим систему: 1 = A(x + 4) + B(x - 4). Подставив x = 4: 1 = 8A → A = 1/8. Подставив x = -4: 1 = -8B → B = -1/8.

   Значит: 1/(x^2 - 16) = (1/8)[1/(x - 4) - 1/(x + 4)].

4. Подставим в исходную интегральную формулу (1/2) ∫ dx/(x^2 - 16) = (1/2) ∫ (1/8)[1/(x - 4) - 1/(x + 4)] dx = (1/16) ∫ [1/(x - 4) - 1/(x + 4)] dx.

5. Интегрируем по частям ∫ 1/(x - 4) dx = ln|x - 4|, ∫ 1/(x + 4) dx = ln|x + 4|. Получаем: (1/16)[ln|x - 4| - ln|x + 4|] + C = (1/16) ln| (x - 4)/(x + 4) | + C.

6. Итог ∫ dx /(2x^2 - 32) = (1/16) ln| (x - 4)/(x + 4) | + C, при условии x ≠ ±4.

Проверка (кратко): производная от (1/16) ln| (x - 4)/(x + 4) | равна 1/[2(x^2 - 16)] = 1/(2x^2 - 32), что совпадает с integrandом.