интеграл dx/x^n

Задача: ∫ dx / x^n

Подход и решение (для общего случая, без указания класса/предмета):

1. Приведём интеграл к степенному виду dx / x^n = ∫ x^(-n) dx.

2. Применим правило интегрирования степенных функций: ∫ x^k dx = x^(k+1) / (k+1) + C, если k ≠ -1.

   Здесь k = -n. Значит: ∫ x^(-n) dx = x^(-n+1) / (-n+1) + C = x^(1-n) / (1 - n) + C, при n ≠ 1.

3. Особый случай:

   • Если n = 1, то ∫ dx / x = ∫ x^(-1) dx = ln|x| + C.

Итого:

• При n ≠ 1: ∫ dx / x^n = x^(1-n) / (1 - n) + C = - x^(1-n) / (n - 1) + C.
• При n = 1: ∫ dx / x = ln|x| + C.

Дополнительно:

• Область определения: x ≠ 0 (поскольку в 1/x присутствует разрыв в нуле).
• Проверка: для n ≠ 1 производная F(x) = x^(1-n) / (1 - n) даст x^(-n) = 1/x^n. Для n = 1 производная ln|x| даёт 1/x.

Примеры:

• n = 2: ∫ dx/x^2 = ∫ x^(-2) dx = x^(-1)/(-1) + C = -1/x + C.
• n = 0: ∫ dx/x^0 = ∫ dx = x + C (соответствует формуле: x^(1-0)/(1-0) = x).
• n = -3: ∫ dx/x^(-3) = ∫ x^3 dx = x^4/4 + C (соответствует формуле: x^(1-(-3))/(1-(-3)) = x^4/4).