Задание 12. На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 38 учеников класса читал книги А. B. С. Результаты опроса оказались таковы; книгу А читали 23 ученика; кингу В читали…

Разберем две задачи по возможностям множества и диаграмм Венна.

Задача 12 Даны множества A, B, C (книги A, B, C). В классе 38 учащихся. |A| = 23, |B| = 20, |C| = 18 |A ∪ B| = 29, |A ∪ C| = 30, |B ∪ C| = 29 |A ∩ B ∩ C| = 7

1. Найдем пары пересечения:

• |A ∩ B| = |A| + |B| − |A ∪ B| = 23 + 20 − 29 = 14
• |A ∩ C| = |A| + |C| − |A ∪ C| = 23 + 18 − 30 = 11
• |B ∩ C| = |B| + |C| − |B ∪ C| = 20 + 18 − 29 = 9

2. Найдем количество читавших ровно две книги:

• AB только (A и B, но без C) = |A ∩ B| − |A ∩ B ∩ C| = 14 − 7 = 7
• AC только (A и C, без B) = |A ∩ C| − |A ∩ B ∩ C| = 11 − 7 = 4
• BC только (B и C, без A) = |B ∩ C| − |A ∩ B ∩ C| = 9 − 7 = 2

3. Найдем количество читавших только по одной книге:

• A только = |A| − (AB только) − (AC только) − ABC = 23 − 7 − 4 − 7 = 5
• B только = |B| − (AB только) − (BC только) − ABC = 20 − 7 − 2 − 7 = 4
• C только = |C| − (AC только) − (BC только) − ABC = 18 − 4 − 2 − 7 = 5

4. Читавших ровно по одной книге (только A, только B, только C): A только + B только + C only = 5 + 4 + 5 = 14

5. Читавших хотя бы одну книгу: По формуле включения-исключения или суммируем все несовпадающие области: A только (5) + B только (4) + C только (5) + AB только (7) + AC только (4) + BC только (2) + ABC (7) = 34 Значит, хотя бы одну книгу прочли 34 ученика.

6. Не прочитали ни одной книги: Всего учеников 38, значит не прочитали ни одной книги: 38 − 34 = 4.

Ответы задачи 12:

1. Только A: 5
2. Только B: 4
3. Только C: 5
4. Только по одной книге: 14
5. Хотя бы одна книга: 34
6. Ни одной книги: 4

Задача 13 Дано: 90 студентов. Списки языков (G — немецкий, F — французский, S — испанский):

• Все три языка: |G ∩ F ∩ S| = 5
• Немецкий и испанский: |G ∩ S| = 10
• Французский и испанский: |F ∩ S| = 8
• Немецкий и французский: |G ∩ F| = 20
• Испанский: |S| = 30
• Немецкий: |G| = 23
• Французский: |F| = 50 Общее число студентов: 90.

Разберем по шагам на примере пересечений двух языков без тройной части:

• GF без S: |G ∩ F| − |G ∩ F ∩ S| = 20 − 5 = 15
• GS без F: |G ∩ S| − |G ∩ F ∩ S| = 10 − 5 = 5
• FS без G: |F ∩ S| − |G ∩ F ∩ S| = 8 − 5 = 3

Теперь посчитаем число людей, изучавших немецкий язык без учёта других языков:

• G без F и S (только немецкий) = |G| − [(GF без S) + (GS без F) + тройная часть] = 23 − (15 + 5 + 5) = 23 − 25 = −2

Число оказалось отрицательным, что невозможно. Значит приведённые данные противоречат друг другу и привести к реальному распределению невозможно.

Почему так произошло:

• Логика: в немецком языке 23 человека, из них 15 изучают немецкий и французский (без испанского), 5 изучают немецкий и испанский (без французского), и 5 изучают все три языка. Уже сумма этих групп без учета тех, кто учит только немецкий, равна 15 + 5 + 5 = 25, что превышает общее число изучающих немецкий язык (23). Следовательно данные противоречат друг другу.

Ответ задачи 13:

• Инструктор был уволен, потому что данные о количестве студентов и их языке противоречат друг другу и невозможно составить корректное распределение по регионам (есть отрицательное количество людей, что невозможно).

Если хотите, могу помочь привести корректный набор данных, который не противоречит друг другу, или показать, как проверить подобные данные на состоятельность в будущем.