2x+4y/x²+4xy+4y²+5

Понимание задачи: Предположим, задача дана как дробь (2x + 4y) / (x^2 + 4xy + 4y^2 + 5). Это обычная форма, где можно выделить квадрат в знаменателе и увидеть удобную подстановку. Пошаговое решение и объяснения 1) Упростим выражение путём factoring: - x^2 + 4xy + 4y^2 = (x + 2y)^2. - Значит знаменатель равно (x + 2y)^2 + 5. 2) Нумератор можно вынести как общую скобку: - 2x + 4y = 2(x + 2y). 3) Получаем упрощённую форму: - (2x + 4y) / (x^2 + 4xy + 4y^2 + 5) = 2(x + 2y) / ((x + 2y)^2 + 5). 4) Подстановка для дальнейшего анализа: - Пусть u = x + 2y. Тогда du/dx = 1 (если y считается константой по отношению к x). - Выражение становится 2u / (u^2 + 5). Варианты задач (что именно может требоваться) A) Если задача просто на упрощение: - Финальная упрощённая форма: 2(x + 2y) / ((x + 2y)^2 + 5). B) Если задача — взять неопределённый интеграл по x (y константа): - Интегрируем ∫ [2(x+2y) / ((x+2y)^2 + 5)] dx. - Подстановка u = x + 2y, du = dx. - Интеграл превращается в ∫ [2u / (u^2 + 5)] du = ln(u^2 + 5) + C. - Вернёмся к переменным: ln((x + 2y)^2 + 5) + C. C) Если задача — взять интеграл по y (x постоянен): - Аналогично получится (1/2) ln((x + 2y)^2 + 5) + C. D) Если задача оценивается как производная: - d/dx [ln((x + 2y)^2 + 5)] = [2(x + 2y) / ((x + 2y)^2 + 5)] * d/dx(x + 2y) = 2(x + 2y) / ((x + 2y)^2 + 5), - что совпадает с выражением после преобразования. Значит само выражение является производной по x от ln((x + 2y)^2 + 5) (при условии, что y зависит от x через другие уравнения — здесь чаще рассматривают как производную при фиксированном y). Если хочешь, могу адаптировать решение под конкретный класс/уровень и показать ещё примеры с числами или с графиком.