"В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 24. Найдите площадь четырехугольника ABMN."

Классно, давай разберёмся вместе и прозрачно покажу, где твой ответ не сходится с правильным.

Суть задачи

• M — середина BC, N — середина AC.
• MN — средняя линия треугольника ABC, MN ∥ AB и MN = AB/2.
• Треугольники CNM и CAB подобны: CN/CA = CM/CB = NM/AB = 1/2.
• Значит отношение площадей S(CNM) к S(ABC) равно (1/2)^2 = 1/4.
• Заданo S(CNM) = 24, значит S(ABC) = 4 * 24 = 96.
• ABMN — часть треугольника ABC, ограниченная AB и MN; по разбиению треугольника ABC линейной секущей MN образует две части: CNM и ABMN. Следовательно S(ABMN) = S(ABC) − S(CNM) = 96 − 24 = 72.

Ваш ответ и почему он не совпал

• Ваш ответ: 18.
• Правильный результат: 72.
• Где могло ошибиться:
  • Возможно недооценили отношение подобия: CNM и CAB подобны с коэффициентом 1/2 по линейным измерениям, значит площади относятся как 1:4, а не как 1:2 или что-то другое.
  • Возможно перепутали направления подобия и взяли неправильный коэффициент при расчёте площади: S(ABC) = 4·S(CNM) не 2·S(CNM) и т.д.
  • Также легко перепутать площадь ABMN с какой-то другой частью треугольника; ABMN действительно равна S(ABC) − S(CNM).

Как решать удобно (практично)

1. Зафиксируй, что MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AB и MN = AB/2.
2. По подобию CNM и CAB: S(CNM) = S(ABC) / 4. Отсюда S(ABC) = 4 · 24 = 96.
3. ABMN — часть треугольника ABC, отделённая линией MN, поэтому S(ABMN) = S(ABC) − S(CNM) = 96 − 24 = 72.

Если хочешь, можем перейти к ещё одной проверке на координатах или через прямоугольник trapezoid, чтобы закрепить интуитивно.

Поставь мне лайк или дизлайк за этот разбор!