Дана функция y={4x+12, если x≤-2; x², если -2

Разберём данную функцию по шагам и подробно поясним каждое выводы. Дана функция y = { 4x + 12, если x ≤ -2; x^2, если -2 < x < 1; 1, если x ≥ 1 }. 1) Область определения - Каждый x попадает в одну из трёх условий, поэтому область определения вся последовательность вещественных чисел R. 2) Значения в характерных точках Вычислим y для некоторых значений x: - x = -3: так как x ≤ -2, y = 4(-3) + 12 = -12 + 12 = 0. - x = -2: y = 4(-2) + 12 = -8 + 12 = 4. - x = -1: т.к. -2 < x < 1, y = x^2 = (-1)^2 = 1. - x = 0: y = 0^2 = 0. - x = 1: т.к. x ≥ 1, y = 1. - x = 2: y = 1. 3) Непрерывность и поведение на стыках - В стыке x = -2: левая часть даёт y(-2) = 4; правая предел при x → -2+ равен (-2)^2 = 4. Значит функция непрерывна в x = -2. - В стыке x = 1: левая граница (из области -2 < x < 1) при x → 1- даёт y → 1; правая часть при x ≥ 1 дала бы y = 1. Значит функция непрерывна в x = 1. - Следовательно, функция непрерывна на всей оси. 4) Графическое представление (кратко) - Для x ≤ -2 график — прямая y = 4x + 12 (наклон 4), проходящая через точку (-2, 4). - Для -2 < x < 1 график — парабола y = x^2, открытая вверх, с вершиной в начале координат; на границах стыков она достигает y близко к 4 (при подходе к -2 с права) и y близко к 1 (при подходе к 1 слева). - Для x ≥ 1 график — горизонтальная прямая y = 1. - Эти три части соединяются в точках (-2, 4) и (1, 1) без разрывов. 5) Диапазон (область значений) - Первая ветвь: y = 4x + 12 при x ≤ -2 даёт значения от -∞ до 4 включительно. - Вторая ветвь: y = x^2 при -2 < x < 1 даёт значения от 0 до 4, но 4 не достигается на этой ветви (поскольку x ≠ -2). Значение 0 достигается на x = 0. - Третья ветвь: y = 1 при x ≥ 1 даёт значение 1. - Объединив все ветви, получаем диапазон (-∞, 4]. 6) Дифференцируемость - Внутри каждой ветви дифференцируемость есть: - на первой ветви: d/dx(4x+12) = 4; - на второй ветви: d/dx(x^2) = 2x; - на третьей ветви: d/dx(1) = 0. - Но в точках стыков не дифференцируемо: - в x = -2 левая производная 4, правая производная от x^2 в точке -2 равна 2(-2) = -4; не совпадают. - в x = 1 левая производная от x^2 в точке 1 равна 2·1 = 2, правая производная от константы 0; не совпадают. - Значит функция непрерывна во всех точках, но не дифференцируема в точках -2 и 1. 7) Примеры задач для закрепления - Найти f(-3), f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2) (валидация значений, как выше). - Определить область определения и график функции. - Определить диапазон значений функции. - Проверить непрерывность и дифференцируемость в точках стыков. Итого: - Область определения: все Real. - Непрерывна на всей оси. - Диапазон значений: (-∞, 4]. - Не дифференцируема в x = -2 и x = 1; дифференцируемая во всех остальных точках. - Важные точки: f(-2) = 4, f(1) = 1; пределы: lim_{x→-2} f(x) = 4, lim_{x→1^-} f(x) = 1. Если хочешь, могу привести график или выполнить дополнительную задачу типа: найти y при заданном x, построить график или доказать непрерывность прямо через пределы.