Дана функция y={4x+12, если x≤-2; x², если -2<x<1; 1, если x≥1

Разберём данную функцию по шагам и подробно поясним каждое выводы.

Дана функция y = { 4x + 12, если x ≤ -2; x^2, если -2 < x < 1; 1, если x ≥ 1 }.

1. Область определения

• Каждый x попадает в одну из трёх условий, поэтому область определения вся последовательность вещественных чисел R.

2. Значения в характерных точках Вычислим y для некоторых значений x:

• x = -3: так как x ≤ -2, y = 4(-3) + 12 = -12 + 12 = 0.
• x = -2: y = 4(-2) + 12 = -8 + 12 = 4.
• x = -1: т.к. -2 < x < 1, y = x^2 = (-1)^2 = 1.
• x = 0: y = 0^2 = 0.
• x = 1: т.к. x ≥ 1, y = 1.
• x = 2: y = 1.

3. Непрерывность и поведение на стыках

• В стыке x = -2: левая часть даёт y(-2) = 4; правая предел при x → -2+ равен (-2)^2 = 4. Значит функция непрерывна в x = -2.
• В стыке x = 1: левая граница (из области -2 < x < 1) при x → 1- даёт y → 1; правая часть при x ≥ 1 дала бы y = 1. Значит функция непрерывна в x = 1.
• Следовательно, функция непрерывна на всей оси.

4. Графическое представление (кратко)

• Для x ≤ -2 график — прямая y = 4x + 12 (наклон 4), проходящая через точку (-2, 4).
• Для -2 < x < 1 график — парабола y = x^2, открытая вверх, с вершиной в начале координат; на границах стыков она достигает y близко к 4 (при подходе к -2 с права) и y близко к 1 (при подходе к 1 слева).
• Для x ≥ 1 график — горизонтальная прямая y = 1.
• Эти три части соединяются в точках (-2, 4) и (1, 1) без разрывов.

5. Диапазон (область значений)

• Первая ветвь: y = 4x + 12 при x ≤ -2 даёт значения от -∞ до 4 включительно.
• Вторая ветвь: y = x^2 при -2 < x < 1 даёт значения от 0 до 4, но 4 не достигается на этой ветви (поскольку x ≠ -2). Значение 0 достигается на x = 0.
• Третья ветвь: y = 1 при x ≥ 1 даёт значение 1.
• Объединив все ветви, получаем диапазон (-∞, 4].

6. Дифференцируемость

• Внутри каждой ветви дифференцируемость есть:
  • на первой ветви: d/dx(4x+12) = 4;
  • на второй ветви: d/dx(x^2) = 2x;
  • на третьей ветви: d/dx(1) = 0.
• Но в точках стыков не дифференцируемо:
  • в x = -2 левая производная 4, правая производная от x^2 в точке -2 равна 2(-2) = -4; не совпадают.
  • в x = 1 левая производная от x^2 в точке 1 равна 2·1 = 2, правая производная от константы 0; не совпадают.
• Значит функция непрерывна во всех точках, но не дифференцируема в точках -2 и 1.

7. Примеры задач для закрепления

• Найти f(-3), f(-2), f(-1), f(0), f(1), f(2) (валидация значений, как выше).
• Определить область определения и график функции.
• Определить диапазон значений функции.
• Проверить непрерывность и дифференцируемость в точках стыков.

Итого:

• Область определения: все Real.
• Непрерывна на всей оси.
• Диапазон значений: (-∞, 4].
• Не дифференцируема в x = -2 и x = 1; дифференцируемая во всех остальных точках.
• Важные точки: f(-2) = 4, f(1) = 1; пределы: lim_{x→-2} f(x) = 4, lim_{x→1^-} f(x) = 1.

Если хочешь, могу привести график или выполнить дополнительную задачу типа: найти y при заданном x, построить график или доказать непрерывность прямо через пределы.