В треугольнике ABC точка O является центром вписанной окружности, а ∠AOB = 110. Найдите градусные меры углов ACO и BCO.

Задача: в треугольнике ABC точка O является центром вписанной окружности (инцентр). Известно, что ∠AOB = 110°. Найдите ∠ACO и ∠BCO. Решение: 1) Свойство инцентра: AO и BO являются биссекторами углов A и B соответственно. В треугольнике AOB угол при A равен ∠OAB = A/2, при B — ∠OBA = B/2. Следовательно, ∠AOB = 180° − (A/2 + B/2) = 180° − (A + B)/2. Так как A + B = 180° − C, получаем ∠AOB = 180° − (180° − C)/2 = 90° + C/2. У нас ∠AOB = 110°, значит 110° = 90° + C/2 → C/2 = 20° → ∠C = 40°. 2) CO — биссектор угла C, так как O — инцентр. Поэтому ∠ACO = ∠OCB = ∠C/2 = 40°/2 = 20°. Ответ: - ∠ACO = 20° - ∠BCO = 20°