В выпуклом четырёхугольнике ABCD случайным образом выбрали точку. Пусть N — точка пересечения диагоналей ABCD . С какой вероятностью выбранная точка будет принадлежать треугольнику ABN , если площади треугольников BCN , CDN и DAN равны 14, 21 и 12 соответственно?

Задача требует вероятности того, что случайно выбранная внутри выпуклого четырёхугольника ABCD точка попадёт в треугольник ABN, где N — точка пересечения диагоналей AC и BD. Известны площади треугольников BCN = 14, CDN = 21, DAN = 12. Обозначим площадь ABN как x. 1) Вводная идейка Диагонали AC и BD пересекаются в N, поэтому квадрилатерль ABCD разбивается на четыре треугольника ABN, BCN, CDN, DAN, площади которых зависят друг от друга пропорционально. Пусть векторное представление с N в начале координат: A = a, B = b, C = c, D = d. Так как N лежит на AC и на BD, можно записать c = -p a и d = -q b, где p > 0, q > 0. Тогда площади треугольников с вершиной N выглядят так: - [ABN] = 1/2 |a × b|, - [BCN] = 1/2 |b × c| = 1/2 |b × (-p a)| = p · (1/2 |a × b|) = p [ABN], - [CDN] = 1/2 |c × d| = 1/2 |(-p a) × (-q b)| = pq · (1/2 |a × b|) = pq [ABN], - [DAN] = 1/2 |d × a| = 1/2 |(-q b) × a| = q · (1/2 |a × b|) = q [ABN]. Назовём x = [ABN]. Тогда - [BCN] = p x = 14, - [CDN] = pq x = 21, - [DAN] = q x = 12. 2) Найдём x Из первых двух равенств получаем p = 14/x, из третьего — q = 12/x. Тогда третим равенством S3 = pq x даёт 21 = (14/x) · (12/x) · x = (14 · 12) / x. Откуда x = (14 · 12) / 21 = 168 / 21 = 8. Итак, [ABN] = 8. 3) Вероятность Общая площадь квадрилатера ABCD равна сумме четырёх образованных диагоналями треугольников: S_total = [ABN] + [BCN] + [CDN] + [DAN] = 8 + 14 + 21 + 12 = 55. Так как точка выбирается равновероятно внутри ABCD, вероятность попасть в ABN равна P = [ABN] / S_total = 8 / 55. Ответ: 8/55.