диагональ параллелограмма , равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма равной 12 см Найдите площадь параллелограмма

Задача: диагональ параллелограмма равна 13 см, и эта диагональ перпендикулярна стороне параллелограмма, длина которой 12 см. Найдите площадь.

Пошаговое решение (один из способов):

1. Обозначим сторону AB = 12 см. Пусть соседняя сторона BC имеет вектор (x, y) в системе координат, где AB лежит вдоль оси x.

2. Диагональ AC равна AB + BC = (12 + x, y). Условие перпендикулярности диагонали к стороне AB означает, что AC ⟂ AB, т.е. скалярное произведение (12 + x, y) · (12, 0) = 0. Это даёт 12(12 + x) = 0 ⇒ x = −12.

3. Длина диагонали AC равна 13 см: sqrt((12 + x)^2 + y^2) = 13. Подставляя x = −12, получаем sqrt(0^2 + y^2) = 13 ⇒ |y| = 13.

4. Площадь параллелограмма равна модулю детерминанта двух соседних векторов: S = |AB × AD| = |det((12,0), (−12, y))| = |12·y − 0·(−12)| = 12|y| = 12·13 = 156.

Ответ: площадь параллелограмма равна 156 см².

Дополнительно (меньше схематично, через геометрию): если диагональ перпендикулярна стороне длиной a, и диагональ равна d, то площадь S = a·d. Здесь a = 12, d = 13, поэтому S = 12·13 = 156.