Даны векторы а1 (6,2,1) и а2 (4.2, 1). Вычислите косинус угла между векторами а1 + а2 и а1-а2. Полученный результат умножить на √6.

Понял. Предположим, что вектор а2 задан как a2 = (4, 2, 1) (похоже на опечатку в варианте (4.2, 1)). Если задумано иначе, скажи, и пересчитаю.

Задача: вычислить косинус угла между векторами a1 + a2 и a1 − a2, затем умножить результат на √6.

Дано:

• a1 = (6, 2, 1)
• a2 = (4, 2, 1)

1. Найдём сумму и разность:

• a1 + a2 = (6+4, 2+2, 1+1) = (10, 4, 2)
• a1 − a2 = (6−4, 2−2, 1−1) = (2, 0, 0)

2. Косинус угла между векторами v = a1 + a2 и w = a1 − a2:

• dot(v, w) = 10·2 + 4·0 + 2·0 = 20
• ||v|| = √(10^2 + 4^2 + 2^2) = √(100 + 16 + 4) = √120 = 2√30
• ||w|| = √(2^2 + 0^2 + 0^2) = √4 = 2

Следовательно, cos θ = dot(v, w) / (||v|| · ||w||) = 20 / (2√30 · 2) = 20 / (4√30) = 5 / √30

3. Умножим на √6: cos θ · √6 = (5 / √30) · √6

Заметим, что √30 = √6 · √5, поэтому (5 / √30) · √6 = 5√6 / (√6·√5) = 5 / √5 = √5

Итого, ответ: √5 (приближенно ≈ 2.236).

Дополнительная заметка:

• Можно увидеть и альтернативно через тождество (a1 + a2) · (a1 − a2) = |a1|^2 − |a2|^2. Тогда числитель косинуса равен |a1|^2 − |a2|^2 = 41 − 21 = 20, что совпадает с прямым расчётом.