10. На тело, первоначально находящееся в состоянии покоя на гладкой горизонтальной по-верхности, в течение промежутка времени Delta*t_{1} = 12 действует постоянная горизонтальная…
10. На тело, первоначально находящееся в состоянии покоя на гладкой горизонтальной по-верхности, в течение промежутка времени Delta*t_{1} = 12 действует постоянная горизонтальная сила F после чего направление силы меняется противоположное. Определите значение промежутка времени Delta*t_{2} через который тело после изменения направления силы верну лось в исходную точку. Примечание. Другие силы на тело не действуют. Ответ: c.
Цель: понять и решить детально.
Дано: тело массой m движется по гладкой горизонтальной поверхности. Вначале v0 = 0, x0 = 0. В течение времени t1 под действием постоянного горизонтального силы F ускорение a = F/m. Затем направление силы меняется на противоположное и действует еще некоторое время t2. Найти t2, при котором тело вернется в исходную точку x = 0.
- До смены направления
- Ускорение: a = F/m (положительное).
- Скорость в момент окончания первого интервала: v1 = a t1.
- Положение в этот момент: x1 = 0.5 a t1^2.
- После смены направления
- Новое ускорение: -a. Пусть прошедшее после смены времени равно t2.
- Скорость в момент времени t1 + t2: v = v1 - a t2.
- Пройденный за время t2 путь относительно точки x1: Δx = v1 t2 - 0.5 a t2^2.
- Итого положение через t1 + t2: x = x1 + Δx = 0.
- Уравнение для возврата в исходную точку 0 = x1 + v1 t2 - 0.5 a t2^2 Подставим x1 = 0.5 a t1^2 и v1 = a t1: 0 = 0.5 a t1^2 + a t1 t2 - 0.5 a t2^2
Разделим на 0.5 a (a ≠ 0): t1^2 + 2 t1 t2 - t2^2 = 0
Перепишем как квадратное уравнение относительно t2: t2^2 - 2 t1 t2 - t1^2 = 0
Решение: t2 = [2 t1 ± sqrt((2 t1)^2 + 4 t1^2)] / 2 = t1 [1 ± sqrt(2)]
Из двух корней положительный только t2 = t1 (1 + sqrt(2)).
- Численное значение для t1 = 12 t2 = 12 (1 + sqrt(2)) ≈ 12 (1 + 1.41421356) ≈ 12 × 2.41421356 ≈ 28.97
Ответ: Delta t2 = Delta t1 (1 + sqrt(2)) ≈ 28.97.
