у русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталось, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2…
У русалочки было более 30, но менее 50 ракушек. Когда она разложила их в кучки по 5 штук, то 1 ракушка осталось, а когда она разложила их в кучки по 3 штуки, то осталось 2 ракушки. Сколько ракушекбыло у русалочки?
Задача сводится к системе конгруэнций:
- n ≡ 1 (mod 5)
- n ≡ 2 (mod 3)
- 30 < n < 50
Способ 1: перебор чисел, которые дают остаток 1 при делении на 5 Числа в диапазоне 31, 36, 41, 46. Проверяем остаток при делении на 3:
- 31 mod 3 = 1
- 36 mod 3 = 0
- 41 mod 3 = 2
- 46 mod 3 = 1 Единственный подходящий ответ — 41.
Способ 2: решение алгебраически через k ( CRT-метод) n = 5k + 1. Подстановка в второе условие: 5k + 1 ≡ 2 (mod 3) → 5k ≡ 1 (mod 3). Так как 5 ≡ 2 (mod 3), получаем 2k ≡ 1 (mod 3) → k ≡ 2 (mod 3). Значит k = 3t + 2, следовательно n = 5(3t + 2) + 1 = 15t + 11. В диапазоне 30 < n < 50 будет t = 2 → n = 41 (а других вариантов не попадут в диапазон).
Ответ: 41 ракушка. Проверка: 41 ÷ 5 даёт остаток 1, 41 ÷ 3 даёт остаток 2.
