Предположим, что H — точка пересечения диагоналей прямоугольника MNKL (то есть центр квадрата/прямоугольника). Пусть
- MN = a (горизонтальная сторона),
- NK = b (вертикальная сторона).
Координаты: M(0,0), N(a,0), K(a,b), L(0,b). Точка пересечения диагоналей MK и NL: H(a/2, b/2).
Угол KNH — это угол между векторами NK и NH, где
- NK = K − N = (0, b),
- NH = H − N = (a/2 − a, b/2 − 0) = (−a/2, b/2).
Используем скалярное произведение:
cos∠KNH = (NK · NH) / (|NK| |NH|)
= ((0)(−a/2) + b(b/2)) / (b · √[(a/2)^2 + (b/2)^2])
= (b^2/2) / (b · (1/2)√(a^2 + b^2))
= b / √(a^2 + b^2).
Значит sin∠KNH = √(1 − cos²) = √(1 − b²/(a² + b²)) = a / √(a² + b²).
Следовательно тангенс угла:
tan∠KNH = sin / cos = (a / √(a² + b²)) / (b / √(a² + b²)) = a / b = MN / NK.
Итак,
∠KNH = arctan(MN / NK).
Дополнительные примечания:
- Если MN = NK (квадрат), угол KNH равен 45°.
- Угол зависит только от отношения MN к NK и не зависит от конкретного размера прямоугольника.
Если же H имеет другое значение (не центр), просьба уточнить положение H, и решение подстроим под него.
