M N K L MNKL — прямоугольник. Чему равен угол K N H KNH ?

Предположим, что H — точка пересечения диагоналей прямоугольника MNKL (то есть центр квадрата/прямоугольника). Пусть

• MN = a (горизонтальная сторона),
• NK = b (вертикальная сторона).

Координаты: M(0,0), N(a,0), K(a,b), L(0,b). Точка пересечения диагоналей MK и NL: H(a/2, b/2).

Угол KNH — это угол между векторами NK и NH, где

• NK = K − N = (0, b),
• NH = H − N = (a/2 − a, b/2 − 0) = (−a/2, b/2).

Используем скалярное произведение: cos∠KNH = (NK · NH) / (|NK| |NH|) = ((0)(−a/2) + b(b/2)) / (b · √[(a/2)^2 + (b/2)^2]) = (b^2/2) / (b · (1/2)√(a^2 + b^2)) = b / √(a^2 + b^2).

Значит sin∠KNH = √(1 − cos²) = √(1 − b²/(a² + b²)) = a / √(a² + b²).

Следовательно тангенс угла: tan∠KNH = sin / cos = (a / √(a² + b²)) / (b / √(a² + b²)) = a / b = MN / NK.

Итак, ∠KNH = arctan(MN / NK).

Дополнительные примечания:

• Если MN = NK (квадрат), угол KNH равен 45°.
• Угол зависит только от отношения MN к NK и не зависит от конкретного размера прямоугольника.

Если же H имеет другое значение (не центр), просьба уточнить положение H, и решение подстроим под него.